VX — <V-Y
Les unes seront données par les correspondances (1), (IT), (ID), (IV) et les autres par les correspondances ([”), (I1”), (III), (1V”).
Le second cas:
B. 1=1+: (ou —1<+2), donne lieu à des remarques analogues. L’équation (8) montre que S — 0, et les relations (7) se réduisent à
ieT:
d’où l’on peut conclure seulement c=1, c=e, c=&.
Chacune des trois équations
dx dy = + 9 PT TT LE dy Ve ME + à dx dy — = + son mr vx TT VeY
admettra quatre intégrales linéaires. Les unes sont déterminées par les correspondances (1), (11), (III), (IV) et les autres par celles-ci
(TL, Le, D3, Lys atenR Los 3, Lys ly =y, Y3s Was Yo) YU — Vis Vas Yos Ya Na Lay L3s Lay, \T— TL, Lo, Lg, Lay, LU = Ver Vas Vas Vi (y = Vas Var Mis Vas sn La (T—= ZX, Lo, La, A4; Y —Y35 Yi Y2s Ya; ly =ys, Vas Yas Yi (T=%, Lo, Ur Lo = Li Los Lys Lis ly=ys, Yos Yis Ya; UUY Ya Vis Yas Ye
6. Comme application des considérations précédentes, considérons la réduction à la forme normale
dx + Mdy
VX Vin G—Ey)
à 1 M étant une constante. Le rapport anharmonique de +1, —1, + z'
— 7 étant TE): il faudra déterminer 4 par la relation
(A = L 1+% On trouve ainsi deux valeurs réciproques de k; à chacune d'elles
correspondent quatre substitutions linéaires, et, si l’on se souvient que 2 a six valeurs, il semble qu’on obtient ainsi 48 re linéaires qui réduisent à la forme normale la différentielle = = + Mais
: 1 il faut FOMArQUER UE le changement de 1 en -- correspond au change-
ment de 4 en — k; par suite, le nombre des substitutions linéaires se réduit à vingt-quatre, et le nombre des valeurs de kK? est six, qui sont réciproques deux à deux. Si + # est l’une des valeurs du module, les
autres sont égales à
1 1+LVXŸ 1—Vx\ (H) fr)
a à Ke bé D D), + — ©):
k” (He, ne AA TPE 1+iVk Une autre méthode, plus simple à beaucoup d’égards, consiste à
poser d’abord
4x _____ Mdy :
VX Vyi—-na—#y)
Les racines de Y —0 sont 1, a 0, . Leur rapport anharmonique
est 4? et l’on a ainsi Ft
On voit qu'ici la signification de Æ? est beaucoup plus simple que dans le premier cas. On trouve encore six valeurs de Æ? et vingt-quatre substitutions linéaires. En posant y — z?, on est ramené à la forme canonique ordinaire. Mais il faut remarquer que, si les coefficients de X sont réels et qu’on veuille avoir une valeur de Æ° qui soit réelle et comprise entre 0 et 1, cette seconde méthode n’est applicable que dans le cas où les racines de X —0 sont réelles. Mais il n'entre pas dans nos intentions de discuter ces substitutions en ayant égard aux limites entre lesquelles x et y sont variables; c'est une discussion qu’on trouve dans les Traités des fonctions elliptiques. Constatons seulement, en terminant ces considérations préliminaires, que les intégrales linéaires de
dx dy
V(1 — x?) (1 — k 2?) mn Po y?) (1 — k? y?)
sont æ—y—=0, x + y—=0, 1—kxy —=0, 1+kxy = 0.
e , dx dy DÉTERMINATION DES INTÉGRALES LINÉAIRES DE L ÉQUATION Vx + Vy
7. La méthode la plus directe pour résoudre le problème proposé consisterait à effectuer la substitution
p+ax+ry+sxy—=0
ou p+ry g+sy
On trouve ainsi par identification
(ps — gr} b, = rt a — 4r°sa, +6r°s$a, —4rs a; +sta,, (p8— grd =rspay— 7 (8ps+ar)a +8rs(ps +aqr)as — —#(ps+8qr)a;+sqa, (ps— gr} = pa —2rp(ps +ar)a + (ps +8 +4pqrs)a>— — 2gs(ps+aqr)a; + sa, (ps— gr} b;=rpa —p(ps +8qr)a + 3pq(ps + gr) a: — — (Bps+qr)as + sa, (ps — gr) db, = pas — 4p°qa + 6p°@as —4pgas + gta. Ces cinq relations, à cause de l’ézalité des invariants de X et de Y, se réduisent à trois relations distinctes seulement, et le problème qui consiste à déterminer les rapports des quantités p, q, r, s est déterminé. Mais c’est une voie bien différente qui nous conduira à la solution du problème.
8. Nous aurons à nous appuyer dans ce qui suit sur certains résultats de la théorie algébrique des formes biquadratiques, pour lesquels nous renvoyons le lecteur aux Mémoires classiques de M. Hermite: Sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminés, dans le tome 52 du Journal de Crelle.
Désignons par H, le hessien de X
d X 2 X H si sd d x? dx dx F 14 | #X BX : J' dx! dx dx?
Hz = (ay ao — a) at +2 (ads — di Go) 2° + + (dpa, + 24, a3— 8 a) 2° + 2 (a, a, — a3a3) & + (ay04 — a), et par J, le covariant du sixième degré qui est le jacobien de X et de Hz
| dX dx
J Eee dx d x’ made 20 RE re
dx dx
Jr = (aja3 — 8 ad dy + 2 a?) af +...
Les covariants sont liés par la relation 4H— SH X4+TX—— Ji,
d'où M. Hermite a tiré cette conséquence importante, qu'en posant
il vient
Désignons maintenant par H,, J, les covariants de Y; en posant
DV = — e ) il viendra de la même manière 24y + dv
VY Van So—T Il est évident par là que la relation w = v, c'est-à-dire X H, EE b 4 Hs ee 0, satisfait à l'équation différentielle dd HR 2 PS Vx VYy
Cherchons à approfondir maintenant la nature de cette intégrale particulière.
Pour cela, considérons d’abord le cas particulier X—=(1— 4?) (1 — k22?), Y=(-y)(—ky).
On trouve par un calcul facile XH,— VE 4 (1 — HR) (œ — y) (x + y) (1 — ky) (1 + Exy) =) (cy—yx)(xy +yx)(x'y —kxy)(x'y + kxy).
L'intégrale XH,—YH,=0
a donc une nature toute particulière; on voit qu’elle se décompose ainsi
æ—y—=0, x+y—=0, 1—kxy=0, 1+kxzy—=0, et elle résume donc les quatre intégrales linéaires de l'équation différentielle.
9. Il est facile maintenant d'étendre ce théorème au cas général et de montrer que X H, ds ct > H, est égal au produit de quatre expressions linéaires de cette forme
P+Ax+ry+sxy, et alors il est clair que notre problème revient simplement à décomposer XH, — YH, en quatre facteurs.
En effet, c'est là une conséquence de ce fait que H, H,, Y, H, sont des covariants.
Nous savons que, par une substitution
x ax + Ba
2 ya +ôx | on peut réduire
Aus à la forme canonique es .
vx La — 2) (1 — ka)
Par une substitution analogue, on réduira
dy:
VC'(1—yi) (1 — Æ y) et, à cause de l'égalité des invariants de X et Y, on peut faire en sorte qu'on ait la même valeur de 4? dans les différentielles transformées, et alors on a aussi nécessairement C = C’. On est ramené ainsi au cas particulier que nous venons de considérer, et, si l’on écrit
C(1—x)(1— ai) =X;,
dy 6 y à la forme canonique
on a X; Hy, — Yÿ H;, = À (A) Cu gi — ya di) Ga gi + ya at) Qi ya — ka 9) (di ya + ki y).
: Mais X, s'obtient en remplaçant dans X x par ax +Bxi, a par y, + x, et en divisant ensuite par (aô— By}. Ainsi l’on peut écrire X—=(aû—B}}X;, et, en vertu de la propriété caractéristique des covariants, on trouve aussi He = (ad — By) Hs, On aura de même Yo Pr Yi, H,= (a à — 87} Hy.
Par conséquent, pour avoir X H, — Y H,, il suffit de remplacer dans
l'expression de X, H,— Y, H;, 4, &, ÿ1, y; par leurs valeurs en x, 4’, y, y’ tirées des relations
ZT — a É AT + Bai ’
y = +fy,
ÿ=rYn+dy, et de multiplier par (aô — By} (a 8 — B' y}. On aurait même pu supposer égaux à l'unité les déterminants des substitutions. Il est clair que
l'expression ainsi obtenue se présente bien sous la forme d’un produit de quatre expressions, telles que
pay +axy +ryx +sxy =p+qx+ry+sxy.
Ainsi nous pouvons énoncer la propriété suivante :
Lorsque deux formes biquadratiques X, Y ont leurs invariants égaux, alors l’expression
X H, HT T Hs est décomposable en un produit de quatre expressions de cette forme
p+ax+ry+sxy,
et, en annulant ces facteurs, on obtient précisément les quatre intégrales linéaires de l’équation différentielle
10. Il faut donc étudier cette décomposition de , XH, — Y H:.
Rappelons d’abord les relations identiques 4H — SH, X24TXS— — J?, 4H} — SH, Y' HT Yi — 7.
En désignant par w’, w’’, w’’’ les racines de l’équation aW—Su—T—0, on voit par là qu’on a 4 (Hz +u'X) (He +w/X)(H + u//X) = — Ji, 4(Hy+ uw Y)(H, + uw Y)(H, + uw Y) = — 7.
Or, H; et X n'ayant pas de facteur commun en général, les facteurs
H;+uX, H}+wY,... sont nécessairement des carrés parfaits (Hermite, loc. cit., p. 15, 16). Posons donc
H;+u X=9%, @pe ss Lil copie etes, He +u"X =";
Hy+w Y=— Py ;
(10) . AR A ee H,+u" Y==9, H,+u"Y=p",
Pr, Px, Px Seront des polynômes du second degré.
Nous cherchons à résoudre l’équation X H,— Y H;—0 par rapport à æ en y regardant y comme connu. On a donc
X H:Hctux Hs TU"X Heu X he ŸY OH, H,+uY H,+u’Y H,+u”Y d
et, par conséquent,
Px —=MY,, AB Dipeus oo PERS + MW:
Si nous ajoutons ces équations après les avoir multipliées respectivement par (u”—#”) o,, (u” —u’) oy, (w —w”’)yy', il vient, eu égard aux formules (10), |
Qu" — 0") pr qu + (u"— 0) px pu + (w— uw") pr py = 0. C’est là une équation du second degré qui doit admettre au moins une racine de XH, — YH;—0; mais on constate que cette équation du'second degré a ses deux racines égales. En effet, la différentielle
Qu" — uw") py dos + Qu" — 0) qydezx + (u — u")py des se trouve égale à
1 "” 1 ’ ’ 144 1 1 ’ " 1 U44 gr Le" — 0") px dos + Qu" — uw) qi dps + (u — uw") px dy]
ou à
L(u"— 0") d(Hx + n° X) + (n° — uw) d (Hz +u” x) +(u —u")d(H;+%"X)]
et s’annule par conséquent.
Nous obtenons donc ce résultat, qui donne la solution du problème proposé :
L'expression
Qu" — 0") pe py + Qu” — 0) ps puy + (u'— uw”) ps ps est, sauf un facteur constant, le carré d’un des facteurs de XH, — YH.. Sous une forme légèrement modifiée, nous pouvons dire qu’on a d’abord à calculer les fonctions y’, y’’, y’’’ par les relations y? =(H+u X)(H+w Y), = (He +u" X)(H, + uw” Y), pe (He + 0 X) (Eu + Y); ensuite on aura les carrés des facteurs linéaires de XH,— YH, (sauf des facteurs constants) sous la forme
(A) HU (u/’ Es w!’) y’ + (u’’’ GE uw’) y’! + (u/ 2 uw’) y’,
Il est clair qu’on obtiendra bien ainsi les quatre facteurs de XH,—-YH,; car, en changeant à la fois les signes de y’, y’’, y’’’, on obtient la même intégrale linéaire de l'équation différentielle
Quelles sont maintenant les opérations irrationnelles qu’exige cette détermination des intégrales linéaires? D'abord on a à calculer les trois racines de l’équation cubique
4Auw—Su—T—0,
et ensuite on voit que la détermination de chacune des fonctions y’, y’, y’’! exige le calcul d’une racine carrée, Mais il est à noter qu’on peut multiplier l'expression (A) par un facteur constant quelconque. En multipliant donc par une des racines carrées à calculer, on voit que le calcul de deux racines carrées suffit pour obtenir, sous forme explicite, les intégrales linéaires. On peut remarquer que le coefficient de xt yt, dans l’expression de y”, est
(ay a — ai + a”) (5 b3 — bi + bou’),
et ainsi les fonctions y’, y’’, y’’’ sont connues après avoir obtenu les racines carrées
r' = Y(apas — à? + ayu/) (6502 — 0? + bÇu’), r = V(a,as — a? + açu/') (bo ba — b$ + bou”), r'""= V(a, a — a? + açu”')(b6b2— 0? + dou").
Mais le produit de ces trois racines carrées est égal, au signe près, à Æ (a ay — 34 do + 2 a%) (66 b3 — 3 bob; b2 + 205),
et ainsi r’/”’ sera connu dès qu’on connaît r’ et r’’. Toutefois, il peut arriver que le terme avec xt y‘ manque dans y”, y’? ou y//?, mais, en tout cas, il est clair, par ce qui précède, que le calcul de deux racines carrées et la connaissance des racines w’, w’’, w’’’ permettent d'obtenir les intégrales linéaires cherchées. Cette solution jouit donc, au point de vue algébrique, de toute la simplicité compatible avec la nature du problème proposé.
