EXAMEN D'UN CAS PARTICULIER. ÉQUATION D’EULER
11. On peut donner une autre forme à la solution du problème et la faire dépendre directement d’une équation du quatrième degré. Mais, pour reconnaître l'intérêt qui s'attache à cette seconde forme, il est utile d'étudier d’abord le cas particulier où l’on a
ai = bd; (i=0, 1,2,..., 4), en sorte qu'il s’agit de la détermination des intégrales linéaires de l'équation d’Euler (12) dx? à dy? | 42° + 442 + 6492 + 4asx + a ao + 4a, y + 6asy? + 4a3y + a Il est clair que, dans ce cas particulier, on obtient y’, y", y’ sans
avoir à extraire aucune racine carrée, et la connaissance de w/, w/!, u’' suffit.
Prenons pour y’, y", y’ les valeurs
p' —= (aoas — af + aou! ) y + ..., p" = (ado — 2 + au) y + ...,
p'!= (aa — af + au’) y2 +...
On peut d’abord mettre ces valeurs de y’, y”, y’ sous une autre forme.
Il est clair que y’, par exemple, est symétrique en x et y, et de plus, si l’on pose y=x, y' doit se réduire à H;+w’X. Or, si deux polynômes doublement quadratiques et symétriques en x et y coïncident entre eux pour æ=—=7y, ils peuvent différer seulement par un terme 4 (x — y}. Il suffit de les écrire explicitement pour reconnaître l’exactitude de cette proposition, qui est due à M. Halphen.
Mais la seconde polaire de H; + u’X
1 [ ,@(H, + u'X) (He +uX) , P(H+u'X) FOR EU ne TU EE mr |
est d’abord symétrique en x et y et se réduit aussi à H;, + w/X pour x =. On a, par conséquent,
is 1 9 (Hx + u' X) d (H; + u' X) d? (H+ + w’X) ; : di ml d x? + 2y VAE ve VUE RS —) + 1'(z—y}.
Il reste à déterminer 7. Cette détermination pourrait se faire déjà ici en calculant directement le coefficient de xy dans y’: on trouverait
ainsi
où l’on a supposé Hr+uX—A;t +4,12 +6A;%+41A,x+A,
Mais il existe une expression beaucoup plus simple pour 4 qui s’offrira d’elle-même dans la suite. Nous nous bornerons donc à observer que /’ doit être une fonction rationnelle de #/, et peut dès lors se mettre sous la forme d’un polynôme du second degré en w/.
l'=2au?+Bu + y.
Posons, pour abréger,
12h — y RE ® H> PH
T3x dx + dx?” 2 X ® X ® X CHU 4 ner +2y 15xdx u dx?" en sorte que » et f sont les secondes polaires de H; et de X, on aura, d’après ce qui précède, p=h+uf +@au? +Buw +y)(&—yY, =h+ us +@au Hu" +7 (y, pl=h+Uu"f+ Qau"?+ Bu" + y) (@ — yY.
Les carrés des facteurs de X H, — Y H, sont, en général, L (u'! En u''!) y' de (u''! HR. u') y!! + (u' En uw") p'", 4 Qu — 0) pt — (uw) pl — (uw) y", = (u” FU uw!!!) y’ + (u/" PE u') y! GerE (u' “ÈS u/!) pl’, . (u/! rien u/! y' fee (u'/! Ho u') y" + (u/ Le d u/') y". La première expression se réduit évidemment à 2 a (u' EE u'!) (u/! Fa u!'!) (u'! ES uw!!!) (x hé y), et donne ainsi la substitution linéaire æ— y —0. Cette solution était évidente a priori.
La seconde expression devient égale à
de (u' se u'!) (u! — uw!) (u!! — uw!!!) (x — y} + 2 (u/! ss w/!) y'
ou bien, en divisant par 2(w”—"u'"), p'—a(u—u")(u—w7)(x— y},
mais on a évidemment (u’ —u/) (uw) = (us —+5u— Ah 5018.
en sorte qu'on obtient h+uf+ (au +Bu +y+tas)(x— y}.
Ici se présente maintenant le moyen de déterminer les valeurs de
a, B, y par cette condition que l'expression précédente doit être un carré parfait.
