Considérons l’expression £=h+uf+C(xz— y
où C est une constante quelconque. On peut écrire
£=P#+2Qy+R+C(x—7y), __ 1 Y(H+uX) a ©” d x? :
Q= 1 #E+wX)
58149 dTdx Ki 1 Ÿ(H+uX)
4 18 dx'2
et le discriminant A de £ est
(Q—CaxP —(P +C)(R+Cæ),
c’est-à-dire A=@—PR—(Px#+2Qx—LR)c.
Or il est clair que PR+2QzT+R—=H;+%xX.
D'autre part, PR — Q? est le hessien de H, + w’X et l’on sait qu’en général le hessien de a X + b H, est égal à
(&abS + EOT) X + (a — LL PS) H, (voir Hermite, loc. cit., p. 33—35); donc
PR—Q@=—(4Sw +14T)X +(w?—.LS)H..
Mais H;+u'X est un carré: donc le hessien ne s'en distingue que par un facteur constant et PR—Q—(u2— 2, S)(He + uw’ X).
Il vient donc A (7 S — 0? — C)(Hx: + w X).
On voit par là que l'expression £ n’est un carré parfait que pour la seule valeur C= HS —w?, et l’on doit avoir —aut+ pu +y+}es=—u+ ns, donc a=1, B—=0, y7—=—$$, d'—=2u—1XS$.
13. Voici un moyen plus direct pour déterminer 1’. Écrivons 1’ au lieu de C, en sorte que p=(P+A)P+2(Q—1'a)y +R +2, A (4 S — w/2 — 1") p°.
Mais nous savons que y — y, y, : donc nécessairement P+l=ap, Q—l'x=Bgs, R+la—=7p, d'où u=aÿ +2By+7; A —=(#—ay)ps.
La comparaison des deux valeurs de A donne DS—w2—1=f— ay; mais on sait que P—ay=—(u —u")(# —uw")=—8u2+1S), ce qui fournit de nouveau la valeur de 1.
1) Cette valeur de l’invariant de y! se trouve sous une forme légèrement différente dans le Mémoire de M. Hermite; voir p. 13, la valeur de A et, p. 15, la relation entre y et w. (Voir Clebsch, Binäre Formen, p. 153.)
SUR UNE TRANSFORMATION LINÉAIRE. 165 14. Voici donc le résultat final auquel nous arrivons: Les intégrales linéaires de l'équation différentielle RE Un re ORNE aa + 44, 2° + 6a2° + 403% + a aYÿ + 44% +60 + 4a3y + a sont d’abord x — y —0, et les trois autres s’obtiennent en posant h+uf+ (75 S —0) (x — y) —=0,
où il faut déterminer % par l'équation cubique
Au — Su—T—=0O.
Sauf un facteur constant, le premier membre est alors un carré exact, et la relation entre x et y se réduit donc à cette forme
p+qa(æ+y)+rzy—=0.
On peut envisager ce résultat sous un autre point de vue. Quelle est, en effet, l'intégrale générale de l’équation différentielle (12). Cette intégrale a été obtenue déjà par Lagrange (Oeuvres, t. II, p. 18); mais M. Cayley l’a mise sous cette forme élégante !)
(18) . .- . . . .h+CF+(BS—C)(x— y} —0,
C étant la constante arbitraire.
Cette expression se déduit de celle que nous venons d'écrire en remplaçant # par C. En général, le premier membre n’est pas un carré parfait: ainsi à une valeur donnée de x répondent deux valeurs de y, l'intégrale n’est pas linéaire. Mais, si l’on pose C—w/,u",u/”, on trouve trois intégrales linéaires ; la quatrième, æ—y—0, répond à C = «.
15. En partant de cette intégrale générale, on aurait pu trouver notre détermination des intégrales linéaires d’une manière beaucoup plus simple. En effet, cette intégrale générale peut s’écrire
(a +2hx+e) (18) . . . . . . |4+8y (h2 +23bzt+?) +@g+2fxz+c)=0,
1) Voir aussi Laguerre, Bulletin de la Société mathématique de France, t, I, p. 35.
a — 0454 —4+Ca, | b= +} (aa, +24 a —3 a) + Ca —+#4(5S — C?), c—aa—a4+Ca, f—=+(aa—aas) +Cas, g—k(@at+2aa;—3a)+Ca+2S—C, h— + (ay 03 — à &) + Ca.
C'est une relation doublement quadratique et symétrique en x et y, que l’on peut écrire sous les deux formes
0O—= A; y +2 By + Cr: = Ay 2° + 2B,x + C,.
Euler déjà a observé qu'on en tire de. : x LR +:
B—A:0; Bÿ— A,Cy’
; . u da? dy?
mais, comme notre relation est l'intégrale générale de 2
< o Les ]
doit avoir B? — A;C:=0X et de même B° — A, C, = 0 Y.
C’est ce qu'on vérifie facilement, et la valeur de @ est F—2E 9—c@—18C—4T.
do On a les relations identiques a) 9 =h— ag, 4a 9 —=4bh—2af — 2gh, 6 a 9 = 4b° — 2hf — ac — g”, 4 a; 9 = 4bf — 2ch — 2fg, aO—=f — cg; d'où l’on tire facilement cette conclusion que, pour @ —0,
A: ÿ° + 2 B:y + Cx est un carré parfait, et l'intégrale générale se réduit alors à une intégrale linéaire qu’on peut écrire ainsi
f+e@+y+hay—0.
16. On a retrouvé ainsi, d’une manière très simple, le résultat de tout à l'heure; mais, si cette méthode est simple, elle est, par contre, moins générale que notre première méthode; car on ne saurait l’appliquer dans le cas général, l’intégrale générale de
(15) dx? .. aW aj2 + 4a, 2 + 6a,x° + 4asx + 04 mr Æ 40,y° + 6bÿ? + 4b,y + b,
n'étant pas connue sous une forme analogue à (18). Cependant il y a
un second cas qu'on peut traiter ici en s’appuyant sur une remarque de M. Cayley.
Désignons par 9 le premier membre de la formule (13) et remarquons que M est aussi quadratique en C. En considérant C comme variable aussi, on aura
sd M 09 Ne = x + . dy + —— ETS =D
et, d'après ce que nous avons vu,
dx :
donc
se vf à Frein VX VY V406 En considérant donc C comme variable, y comme une constante
arbitraire, la relation (18) ou (14) est l'intégrale générale de l'équation
différentielle ne De
EX Te PAOUZEOUT.
et, pour avoir les intégrales linéaires de cette équation, il suffit de résoudre l’équation Y — 0 ou, ce qui est la même chose, l'équation
X—0. Ce résultat était à prévoir, car la connaissance des racines de X — 0 entraîne celle de l’équation 4 C3 — SC—T = 0. En déterminant y par l'équation Y=0, SN deviendra un carré parfait.
17. Revenons maintenant au cas général, la détermination des intégrales de (15). D’après l'examen des cas particuliers que nous venons de faire, il est à prévoir qu’il doit exister une liaison intime entre cette détermination et l'intégration générale de cette équation; mais on ne connaît pas cette intégrale générale sous une forme analogue à (14) et il nous paraît assez difficile de l’obtenir sous cette forme.
Au contraire, la méthode inverse se présente ici.
Ayant obtenu la détermination des intégrales linéaires, si nous faisons dépendre cette solution directement d’une équation du quatrième degré, n'obtiendrons-nous pas en même temps l'intégrale générale sous une forme analogue à (14)?
C'est là une question qu’il nous reste à traiter.
Il faut le remarquer, on peut faire dépendre la détermination des intégrales linéaires d'une équation biquadratique, mais cela est possible d’une infinité de manières. Parmi les équations biquadratiques desquelles dépend ainsi la solution de notre problème existe-t-il une classe particulièrement simple.
Ce sont là les questions qui se présentent: les diverses équations biquadratiques sont liées par des transformations de Tschirnhausen.
(J. Math., Paris, sér. 4, 5, 1889, 55—65.)
Sur le développement de l'expression
[R?— 2Rr [cos u cos w’ cos (x — x’) + sin w sin w’ cos (y —y’}]+r?} 7".
1. La théorie du potentiel a été étendue à un nombre quelconque de variables par Green. Dans le cas de quatre variables il faut considérer l’expression
(Xi — Ya) + Lo — Ye) + (ms — V5) + (4 — ya
qui satisfait à l'équation différentielle
ot RS + PE ph +
D. 0.5 3m T5 Sa + ous + 3e = 0
Ti = T COS Y COS T, Y, = R cos 4’ cos x’, (3) Lo = Y COS U Sin X, Ye = R cos w’ sin x’,
Ty = T Sin 4 COS Y, Ya = R sin w’ cos y’,
%, = T Sin Sin y, y, = R sin 4’ sin y’, on aura
Cu
R?—2Rr cos +7?
où
(5) . . cos p = cos u cos w’ cos (x — x’) + sin w sin w’ cos (y — y’).
170 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R? — 2R 7 cos œ + r?]-1.
En développant T suivant les puissances croissantes de r, il vient
(@:. ie T=Ùv. Re sin (n + 1)
trouve l'expression en écrivant abord
est un polynôme du degré » en cos y, dont on
TOR 2. He me et en cherchant ensuite le coefficient de 7”, ju = 0e @ sin y | = (2co8p}" — . cos p)"—?+ !- =E À (2 cos p}" —# —
En introduisant ici au lieu de cosy sa valeur (5), V, deviendra un polynôme du degré n en cos (x — x’) et cos (y— y’) qu’on pourra développer suivant les cosinus des multiples de æ— x’ et y— y. C'est ce développement que nous nous proposons d'obtenir.
2. Cherchons d’abord la transformée de l'équation différentielle (2) après l'introduction des nouvelles variables y, w, x, y. Les relations (3) donnent facilement
da + das + das + daë = dr? + 7° du? + r° cos? u dx? + r? sin? u dy?
et de là on conclut, d’après un théorème bien connu de Jacobi,
S (° sin u cos u ST Its (rsin u cos u À) +
ù ùT ES v” (rtang us +3 fr cotes) = 0 ou bien T ÔT , ÀT Er de rh
nn DE À TO 1 pr
Et du T cou de T sinu d ÿ pr
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R° — 2R 7 cos 1-1 171 p
En introduisant maintenant au lieu de T le développement (6), on obtient pour V, la relation
Va + goptau Ve + (9) | de Pi T sos ù x? LÉT T7 d +n(n +2) V, = 0.
C'est cette équation différentielle linéaire qui permet d'obtenir facilement le développement cherché de V, suivant les cosinus des multiples de x— x’ et de y —y!.
8. On reconnaît sans peine, par l'inspection des formules (5) et (7), que ce développement se compose d’une série de termes
C cos i (x — x’) cos k (y — y’), où i,k sont des entiers tels que n—i—% est pair et non négatif. Ensuite on voit que le coefficient C est divisible par (cos w cos w’)' (sin w sin w’}*
et que le quotient est un polynôme en sin? w et sin? w. Nous posons
(10) : . . Vs = D. 4 Rÿ x COS à (x — x’) cos k (y — y"), î k avec cette convention que, lorsque l’un des indices à, 4 est égal à zéro, il faudra remplacer le coefficient 4 par 2, et, lorsque i—k—0 (ce qui n'arrive que lorsque n est pair), il faudra remplacer 4 par 1. En introduisant le développement (10) dans l'équation différentielle (9), on obtient pour R?, l'équation différentielle
an. ra ct2u PE + n (n + 2) —
En posant maintenant
k? sd - R?,= 0.
TE ” sin ul Ÿ#
ss ; in* n Rÿ, = cos! u sin“ u Six, S;, sera un polynôme entier en
t = sin?
172 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L’EXPRESSION [R? — 2R r cos œ + r?]-1.
et l'équation (11) nous donne
GE D — a+ 840 EE aps = 0,
1i+k—n "wr So :
(13) LE a a Ur — 2 ’ [y=k+I.
On en conclut ik =CS(a, B;,?; sin? w);
a en effet est un nombre entier négatif, en sorte que la série hypergéométrique se réduit à un polynôme.
D'après cela, on doit avoir
Rÿ, = C cos'u sin* u & (a, B, y, sin? u),
C étant indépendant de u. Mais il est clair que le coefficient R?, est symétrique en « et w’; donc (14) Rx = ci, (cos u cos ’) (sin w sin w’)*
X Sa, B, y, sin°u)# (a, B, y, sin? w’),
c', étant un coefficient numérique qu'il reste à déterminer.
4. Pour cela, posons # —#/; on aura COS g —= (1 — {) cos (x — x’) + é cos (y — y’), Rx = Gr (1 — {8 (a, B, y, t), et, à cause de i+k—2a—n, le coefficient de {” dans R?, est
:n [BB+1)...(8—a— 1)?
De verre Mais, d'autre part, d’après la formule (7), le coefficient de #” dans V, est
27 [cos (y — y’) — cos (x — x’)]".
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L’EXPRESSION [R° — 2R7r cos g + r°]-1. 173 En posant donc pour simplifier x’ —x, y —0, on doit avoir
2 (cos x + cos y)"
! / …. rs 3 (15) . = Xi fer cos À x COS k y.
Mais le développement de 2 (cos æ + cos y)" se trouve directement sans difficulté, et le résultat est
2" (cos x + cos y)"
(16) 7 2.4 DL rt) - COS à COS k y.
” — i — Hit fn—i+tk n+i—k : n | 2 ju 2 ju LE ) La comparaison de ces formules (15) et (16) donne la valeur cherchée de c?, n—i+k fn+itk (17)... cd, — rm Lu Ge ) | ne net nqne
5. Voici maintenant comment on obtient le développement (16). On a d’abord
2" (cos x + cos y)! — D» (n}r (2 cos x} —" (2 cos y),
en posant
di ne n(n — 1)... (et th 2 HO és Dr ” H(r)H(n—r)
et comme on a, d'autre part,
(2 cos a} = S° 2(nh-,co8r y, ; p
174 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R? — 2kR 7 cos g + 2]- 1.
il vient
2" (cos x + cos y)" D. 5: 4 (nr (nn —Thhr—:(T}r x COS i x cos k y, r i k 2 2 et, en écrivant
2* (cos x + cos y} — SR 4 ex COS TX COS k y, î k
on aura 22 (nn — ref re où | rT=k, k+2, k+4, ..., n—i.
Se A — 8; l’expression précédente devient
Mais on voit facilement que (re +28 (0 — #% — 28} 5 (4 + 28): = (ni) (n0)s (n — Me +s = (n)m (90)s (7 — M}n—m xs;
donc Ex = (ne) C0) (0 — me} = m — x + (M); (0 — M}n = m 81 +
ou x = (70) (92) — m — ce qui fournit le développement (16).
On voit que &*, est le produit de deux coefficients binomiaux, il en est de même de
Ce = (N — mx (n — M — ie
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R°? — 2R7r cos g +:*]-1, 175
