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M. Tisserand a obtenu d’abord, dans le tome LXXXIX des Comptes
rendus des séances de l’Académie des Sciences, ce résultat, qu’en
sin (n + 1) y sin 1
posant dans l'expression
COS œ —= cos? w cos x + sin? w COS y
et en développant suivant les cosinus des multiples de x et de y, le coefficient de cos i x cos k y est égal à
4 cos? u sin? u &°? (a, B, y, sin? u).
Mais la découverte de ce beau résultat a été extrêmement laborieuse, comme on peut le voir par l'analyse compliquée par laquelle M. Tisserand a démontré son résultat.
En réfléchissant sur cette belle formule, nous avons observé d’abord qu'en posant
COS g —= COS % COS Y” cos æ + sin w sin w/ COS y, les coefficients devenaient des produits de fonctions analogues en et w/, et nous avons trouvé ensuite dans l’extension de la théorie du potentiel au cas de quatre variables l’origine vraie de cette formule.
176 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L’EXPRESSION [R? — 2Rr cos œ + r2]-1.
Nous observons qu’un point essentiel de notre analyse consiste dans ce changement de variables Li = T COS U COS ZX, Lo = T COS U SIN X, y = T Sin 4 COS Y, %, = T Sin % Sin y.
Green, Jacobi et d’autres géomètres, qui se sont occupés de cette extension de la théorie du potentiel, ont introduit d’une autre manière des variables analogues aux coordonnées polaires, en posant % = T COS 6,, z) = r Sin 0, cos 6), x = 7 sin 6, sin 6, cos 6,
zx, = 7 Sin 6, sin 6, sin @%.
7. Il est clair que notre analyse est parfaitement analogue à celle de Laplace concernant la fonction
X, (cos 0 cos 0’ + sin 8 sin 0’ cos y).
Il serait facile de poursuivre cette analogie et d'arriver, par exemple, au développement
Le
(18)... |. . : . sé, riv 97e,
où
n+1/?. CE ses sin(n + 1) (19) 29= es | sin 4, cos 4 du | Î 5h, a, 1) OP dr dy
COS @ — COS 4 COS Y, COS (7 — x.) +- sin % sin %, COS (y — y),
$ (U, x, y) Étant une fonction arbitraire continue, donnée pour les valeurs
OLu<G) 0<x< 2x, 0<Ly<2x,
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L’EXPRESSION [R? — 2R r cos o + r?]-1. 177
et telle que S (0, x, y) est indépendant de y, 3] Fe, x, y) est indépendant de x, S(u, 0,7) =5$(u, 2x, y), S(u,x, 0)=S(u, x, 2x).
Mais, au lieu d’insister sur ce sujet, nous croyons être plus utile en appelant l'attention sur quelques autres formules.
8 Soit Va = cos ny, COS p = ZX, V, est un polynôme du degré » en x, et
+: 29 LT à La ps Vr = 0.
En posant
x = COS? 4 + sin? u cos y,
on trouve d Vh . dVr Ju —?28inu cos w (COS y — 1) es d Va +. 2 . d n dy = — Sin te SVr
AL
dd V pv À — 4 sin” w cos? w (COS y — 1
d V, d? d V s— —= Sin # sin? 2% abc PA Ô y? ? Éd d x
En substituant ces valeurs dans .
Te He d 2 48° Se
et en déterminant a et B par la condition que le coefficient de L soit égal à 1 —%?, on obtient
1 EVn, 1 #Va
4 du Tsinu dy
tas
5 (cos 2 # + cos y — cos 2 uw cos y) ne
178 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L’EXPRESSION [R° — 2R r cos œ + r°]-1.
et ensuite 1#V,, 1 #V. A A LAC 1 4 * dote dy? | 4sinucosu du 6 md à m — “dx donc, d'après (20), 1 dE V, 1 V, 1 .
OÙ - : 2 58 tape du tome ss Le
Mais il est clair qu’on peut développer V, suivant les cosinus des multiples de y en posant
ED . . . V.— ÿ'2R} oc iy, i—=0,1,2,...,n.
On trouve, en portant ce développement dans l’équation (21),
1 ŒR? à 4 de Ÿ Ssneu a+ — og) = 0 ou, en posant R°—(sinu)}'$}, sin u—=tf, Sr Phi FES (23) . .tA—0 es +@i+DA—-0 + —ÿS'—=0;
d'où l’on conclut
S'=CF(i—n,itkn,2i<+Li1, CE R'= C(sinu)ÿ'#(i—-n, itkn, 2i+1, sin° #).
La détermination de la constante numérique C s’effectue encore sans difficulté en comparant les coefficients de {" dans la formule (22). On obtient ainsi le résultat
| COS g —= COS? 4 —+ sin? # COS y,
—/ In + mn « < ANR eng sin
X S(i—n, in, 2141, sin? w) cos iwy.
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE L'EXPRESSION [R? — 2R7r cos o + r?]-1, 179
9. On doit à Hansen un résultat analogue qu’il sera bon de rappeler % (cos? w cos x + sin? # cos y)
HN / GS/ : ï 2e > > 4 ci, cos? u sin°* u i k
X Sfitk—n,itktn+1, 2k+L1, sin? u) cos ix cos ky.
L'analyse de Hansen est très compliquée, mais M. Tisserand a fait voir (Comptes rendus, t. XCVII, p. 815) qu'on peut obtenir cette formule d'une manière analogue à celle qui vient de nous donner le résultat (24).
Mais, quoiqu'on parvienne ainsi d’une manière élégante à établir ces formules (24), (25), il nous semble pourtant que la véritable origine analytique de ces formules et des expressions
cos” u + sin? % cos y, COS? 4 COS æ —- sin? w COS 7 reste à trouver. Est-il possible d’arriver à ces résultats par une théorie
analogue à celle du potentiel? C’est là une question que nous avons cru utile de poser au moins.
(Paris, C.-R. Acad. Sci., 108, 1889, 605 —607.)
Sur les dérivées de séc x.
(Note, présentée par M. Hermite.)
