La considération des dérivées successives de

cosamx, Aamzx

conduit à des résultats analogues, mais qui offrent encore une appli-

cation du théorème I.

Soit f(x) — cos am x: en introduisant encore la quantité 2=—k sin?amx,

les dérivées d'ordre pair se présentent sous la forme suivante

{ f —=cosamx{a,], f" —= cos am x[a, + b, 2], (15) . . . . | FO — cos am x [a + b, z + © 2°],

FO = cos am x [az + db 2 + C3 2 + d2],

et il est clair que

Le théorème de Taylor donne ensuite ypl=f+r À Na site + [cos am (x + y) + cosam(x—y]=f+f NC DUR ARS RC DE SP

ou bien, en introduisant les valeurs (15),

(16) . . . [cos am (x + y) + cos am (x — y)]

y y‘ = cos am lo + @ 4e +

+2 008 am ah +b +.

o REC DRE + 2 cos am [cg 3 +...

D'autre part, les formules d’addition donnent

4 [cos am (x + y) + cos am (x — y)]

COS am Z COS am 7

7 1 — 4? sin? am x sin? amy

— Cos am æ cos am y [1 + X z sin° am y + 4? 2? sinf am y + ...]

La comparaison avec (16) montre que

L # da 19 | PARUS dE SE ETATS Preis in? “ss dx a de (17) /k sin am y COS am y — both 9 sat 2 gint al NT k°sin* am y cos am y — 19823 T')

CU) NAT DUR NT De AM DRE ou ne SE VAS US Os FOX JUN TORS OR CRE MS fée PAS JAN DER DO QUES ON CT CNE ND AS RTE

On voit par là que le second membre de la formule (16) peut s’écrire

a+ a RE Li. |x C Me deg, LD à) ge | MES OT MTS s14 PAT ST TITRE TA

: l jo tu rs +... [x b a tors Gate | + ner +..]x Has Pt. | a |

et le premier membre est égal à

1 € An ; 9 à a Cond Vel La comparaison de ces deux expressions conduit à la relation

Qitr = Qidx + bibx + cicx +...,

ou, ce qui revient au même,

D. > aitkXi Xx=[a; Xo + 4, X, + Xo + ...F . + Lo X;s + 02 Xo +... F

+ Lo Xe + ...F

9. La considération des dérivées d'ordre impair de f— cos am x va nous donner une formule analogue. On trouve que ces dérivées se présentent sous la forme suivante

f! =snamzxaAamx(a.], (19) f'!= sin am x À am æ[a, + b, 2], f® = sin am x À am x[a; + b, 2 + c3 2°],

Il est à remarquer que a,, a,, a, ... ont ici les mêmes valeurs que dans les formules (15), mais il n’en est pas de même des do Cette remarque est à peu près évidente, car si l’on prend encore a,—1, on tire des formules (19) le développement

à Ra : An X2* came D nn

La formule de Taylor donne 3 5 #cosam(x+ y) —cosam(z—p}=f" À 4" HO

et, si l’on introduit les valeurs (19),

(20) . 4 [cos am (x + y) — cos am (x — y)]

y y° y =sinams a am ele Ÿ 4e D + 9 n +...

s y° Ua | + sein ame à am eo, Ÿ +

y SE

+ # sin am & à am |

or on a

4 [cos am (x + y) — cos am (x — y)]

____ Sinam % A am x sin am y Aamy 1 — k° sin? am x sin? am y

— — Sin am x A amæsin amy A amy[1 +2 sin? am y + 4222 sint am y +...]

donc, par comparaison avec (20),

— SnamyAamy—a 2 je gif di Cu + pas RS Sd

y y5 Eds 3 — FRE. APE UT TROT dr.2.8 1 01.5.8.2.8 tt

— k2sin° amy A am y — GT 9 “a 4 BST.

Le second membre de la formule (20) s'écrit donc

x dm 5 ni +erSsteisssst. |x a Y +47 2. g+a 31.33487" . a a? 3 y SU | fers tirs sset]* Ce # RUE NA NN Le a? | ne À se | 055 5rst+.)x ares tEt

tandis que le premier membre est

CEE

221 cale +#"-&@—1#"]

On en conclut — ditk+i = Gi+10x+1 + bia dx + Cia Cu + +...

ou encore

(22) . EE nest XXe fr + X, +a Xo+...P + Le Xi + do + + Les Xe +...

Les décompositions en carrés données par les formules (18) et (22) permettent maintenant d'écrire immédiatement la fraction continueF, qui résulte de la série

L.. AnLSF. : M ii AP mir où 2 En changeant légèrement les notations, nous écrivons le résultat final ainsi: soit Eva a ee ob LOL ONE PR ALCE UE EP alors la série (divergente)

Bo __ Bi y Be Dh th

qui provient de l'intégrale

ee | e—*2 cos am 2 dz,

donne la fraction continue (convergente)

PP + re NS

Et une analyse toute semblable conduit encore à ce résultat que, si l'on écrit

x? x# SRE Te NE aa ei

la série (divergente)

qui provient de l’intégrale

a Î e—*?Aamzdz,

donne la fraction continue (convergente)

(24) à pe D + ——>% MEET SE e + @n—iÿe 5 ARUSE É 4e a TE

La démonstration que ces fractions continues convergentes représentent effectivement les intégrales dépend de considérations toutes différentes que nous nous réservons de développer dans un autre Mémoire.

(Bul. Sci. math., Paris, sér. 2, 13, 1889, 170— 172.)

Extrait d’une lettre adressée à M. Hermite.

Permettez-moi de vous présenter une remarque que m'a suggérée votre résultat

arc COS a)

PE. a c

J =| | e—Q@a2+2bry+cg) dx dy = > "’.

ne À TT 2Vac—®

Elle consiste en ce que l’angle

p = arc COS bai COS p = = , qui y figure et qui est compris entre 0 et x, est précisément l’angle qu’on rencontre en représentant géométriquement la forme positive aa? + 2bxy + cy:.

Cette remarque m'a conduit à une autre démonstration de votre résultat. Soient (Fig. 1) OU, OV deux axes coordonnées comprenant l'angle y,

Fig. 1.