EXTRAIT D’'UNE LETTRE ADRESSÉE A M. HERMITE

Il n'est pas nécessaire de spécifier la nature des coordonnées à introduire pour déterminer la position de P,; toujours on aura

do==r"do X dr,

o étant l'élément de l’aire de la surface de la sphère ; donc

JkVarc=|de| e-"rdr=S x }Vz,

S= [ de étant l'aire du triangle sphérique ABC dont les côtés sont

a, B, y. En écrivant au lieu de k sa valeur, il vient

(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 8, 1889, 472—478.)

Sur un passage de la théorie analytique de la chaleur.

La méthode suivie par Fourier pour obtenir le développement (A) . . . 1 —acosx + b cos 3x + c cos 5x + dcos 7x +...

est très belle, mais elle manque absolument de rigueur, et l’on peut même s'étonner, au premier abord, qu'un tel procédé puisse conduire à un résultat exact.

Fourier pose x—0 dans l'équation (A) et dans celles qu’on en déduit par des différentiations successives. Il obtient ainsi les relations

1=a+ b+ c++ d+..., 0O=a+8b+Sc+7ad+..., zza+8tb+5te+Ttd+..., O—a+3b+5c+7d+..….,

n de ces équations lui fournissent les n premiers coefficients en annulant tous ceux qui suivent, et, en prenant ensuite n— ©, on constate que les valeurs obtenues pour a, b, c, d, ... tendent vers des limites déterminées.

C’est ainsi qu'il obtient le résultat cherché z I 1 1 4 = SLT— cos 3 T + & COS 5x — 7 C08 7xz+....

Nous nous proposons dé’tudier de plus près cette méthode.

1. Il est clair que la détermination des a, b, c, d, ... d’après Fourier revient à ceci:

Déterminer les coefficients a;, a, ...,a, de manière que le développement de

Pn (ZX) = 4, COS x + a, C08 3x +...—+ a, cos (2n — 1)x soit de cette forme En (0) = 1 + on 2 nn 2 Pour obtenir y, (x) et en même temps une expression simple de 1 — yh (x), nous remarquons que l'identité (2 i sin æ—1 — (eir — 6—ixÿn—1

donne facilement, en développant le second membre,

(sin x}"—1— À, |sin x — sine TU D sin 5e —

Se) ("+ 1)(n +2)

TD S+ONtS IL "7 4.6.8...(2n)

On en conclut

['(einaPr-1 42 = (2)

—B, — An|cos x — Supics3e+ à pra co6e—.….)

Or il est clair que le développement de

[ (sinx}"—14x commence par un terme en 42”: donc on a nécessairement

febi = 5" [cos à — > LA Mi eos3æ+

pue:

+ EEE 6e—...)

DE 1 — que) = [ein a)" 2: [' (sin a)®"-t da.

Fourier n’a pas donné explicitement l’expression de w,(x), mais on peut la déduire facilement de ses formules et constater l'identité avec la formule (3). On a notamment

» 82.52.72...(2n— 1} Br (81) —1)(7—1)...[8n—1)—1)] et il est facile de conclure, d’après la formule de Wallis,

MN Ce dt sr Den