MI TES

donc

1— En +1(&) __ Cn+1, Cn ) 0 Le, né PER RS l+5, sin? x,

1 étant un nombre fixe compris entre sin? x et 1, le rapport C1 — qn +1 (@I]: T1 — px (2)]

sera donc constamment inférieur à À à partir d’une valeur suffisamment grande de #, d’où l’on conclut

D: . Wlina. A]l=0, n= ©,

On verra de la même façon que

(7) are pahete «lim 3 f'(sina)"-1 20.

Or on a DS me ES = —( 39 100009 | LL rs A Ve Pr + ec FE :

ln rr:

Donc, pour achever la démonstration de la formule

7 1 l F J'TE S cos 3% + — COS 5% a

il suffira de faire voir qu’en js

S = COS x — - cos 3% + à - COS DT —.

ce Tn—1 1 (m—1)(n — 2) A S' — COS Z — . Fe 5 Hi ES $ on a lim(S—S)=0, # == ©.

8. Remarquons d'abord qu'en écrivant S' = 4, COS x — 04 COS 8x + a; cos 5T —..., les coefficients a,, a, a,, ... sont positifs et vont en diminuant. Soit, m étant un entier impair,

Rm =, COS ME — os (m + 2)x+...+ mon cs Or + 24

Rn = Am COS ME — Am+2 COS (mn + 2) & +... + Am+2k COS (m + 2k) x On aura 2 Rm COS Z = 0m COS (nm — 1) x + (am — Am +2) COS (nt + 1) à — (Am+2 — Am +4) COS (m + 3) x

F (Gm+2k -2 — Am+2k) COS (m + 2k— 1)x + Am+2x COS (m + 2k + 1)x; d’où l’on conclut qu'en valeur absolue

12 Rn cos & | < Am + (Am — Am +2) +

+ (Gun +2 — Am +4) + 4 + (Am +28%—2 — Am+2%) + Am+2k,

| R2! Cm 1 D. : BIC Se Sue et de la même façon D. .......RNR—

Cette dernière relation montre que la série $ est convergente.

4. Cela étant, soit s un nombre positif donné aussi petit qu’on voudra. Il faut montrer qu'il est possible de trouver un entier N tel

que, pour n=N, on ait toujours IS—S'I<e.

Il est bien entendu qu’on suppose que x a une valeur fixe comprise entre + 5

Voici comment on peut trouver ce nombre N. Décomposons d’abord d'une manière quelconque : en deux parties également positives:

ee Le

et prenons un nombre entier impair m tel que

Mer