On peut obtenir d’une façon analogue le développement

gT— GSn2%—.,;sn4x + siNn6érT—...

On déterminera d’abord une expression Y, (x) = a, sin2x +La,sin4x+...<+a,sin 2nx, par la condition que le développement de Y, (x) soit de cette forme Yh (x) = 2x + ka LENTILLE Eng an +8 EL...

On obtient immédiatement la valeur de Y,(x) en remarquant que Yh (x) — x

ne peut différer que par un facteur constant de Î (sin x)" dx,

et la suite du raisonnement est tout à fait semblable à ce que nous venons d'exposer en détail.

(J. Math., Paris, sér. 4, 5, 1889, 425—444)

Sur le développement de log r'(a).

Le but principal de ce travail est de donner une nouvelle déduction de la formule (formule de Stirling)

log (a) = (a — 4) log a — a + 4 log (2x) +

et de faire ressortir que le second membre représente asymptotiquement la valeur de log T'(a) (dans un sens que nous préciserons plus loin), même dans le cas où la valeur de a est imaginaire, la partie réelle de a étant négative.

Les intégrales définies que l’on a jusqu'ici introduites dans cette théorie présentent toutes cette particularité qu'elles ne sont valables qu'en supposant la partie réelle de à positive et ne conviennent donc pas à notre but.

1. Il n'entre pas dans nos intentions de reprendre toute la théorie de la fonction l'; mais, pour mieux caractériser notre point de vue, il semble convenable de donner une déduction rapide de toutes les formules dont nous aurons besoin,

Nous adopterons comme définition cette formule

Pets RE de:

NL Eig=iin

212 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).

d’où l’on conclut immédiatement D . . .. ST.) TETOONR

et r(l)= 1, rin)=1.2.8...(n — 1).

Par conséquent, la formule (1) peut s’écrire

T'(n) T (a) n° la<+n)

r'(a) = lim

donc