OS A AT TE
Des formules (2) et (4) on déduit encore
— TH COTE NE RU r'H+ar(4—a)= tr
Remplaçons ici a par ui, u étant réel; on en conclura
’ u (ETUu— e—x':)
mod l'(4 + wi) = V= I
mod T'(ui) = 1 (5)
2. Nous avons à considérer maintenant la fonction log r' (a). C’est là une fonction qui n’est pas uniforme comme l'était r' (a). Mait il suffira de considérer une branche particulière de log T'(a), et, pour la préciser, nous supposerons d’abord que log r (a) est réel lorsque a est
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a). 213
‘réel et positif. Ensuite nous limiterons Ja marche de la variable par la condition qu’elle ne traversera jamais la partie négative de l'axe des abscisses : nous avons ainsi une coupure de 0 à — ©. De cette façon log T'(a) a une valeur unique et bien déterminée dans tout le plan, à l'exception des points de la coupure.
Pour ces points particuliers, log l'(a) a deux valeurs selon que l’on arrive à un tel point par un chemin tracé dans la motié supérieure ou inférieure du plan. L’axe des abscisses divise le plan en deux parties : nous désignons ici par moitié supérieure du plan cette partie où se trouve le point +. La notation
+ pu log l'(a), log T (a)
servira à distinguer les deux valeurs de log r' (a) aux bords de la coupure. Il est clair que la fonction log F (a), telle que nous venons de la définir, prend des valeurs conjuguées pour deux valeurs de a qui sont conjuguées. Par conséquent, la différence
+ … log L'(a) — log l' (a)
sera purement imaginaire. Il est facile d'obtenir cette différence. En
supposant D n so £; UE QE ER à n étant entier et positif, la définition de l'(a) permet de conclure immédiatement ee …— (6) . . . . . . logr'(a)—logr(a—=—2rixn.
3. Considérons de même la fonction log a en limitant la marche de la variable comme dans le cas de log T'(a): on a
+ a à loga—loga—=<+2xi, donc
EE — (7) . . . Q@—hloga—(a—}Hloga——2xi[n+EX—E].
214 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).
Posons log l(a) — (a — 4) log a = (a),
on aura
FLE (8) . . . . . . . f@—-fo=2#it2i4
On voit que cette différence est indépendante de n et se reproduit ainsi périodiquement le long de la coupure.
Définissons maintenant une fonction d’une variable réelle x ainsi
| P(x—=X—x, Poe DE \ (O0 <x< 1) et posons Re. P CRU cn Nr PONS CS J x + a
Nous définissons ainsi une fonction qui existe dans tout le plan, mais qui admet comme coupure la partie négative de l’axe des abscisses.
La différence des valeurs de J(a) aux deux bords de la coupure s'obtient immédiatement à l’aide de la formule de M. Hermite (Journal de Borchardt, t. 91, p. 65)
— = A1)... . . « . .J@—J@=2xi[k— 61.
L’inspection des formules (8) et (11) conduit à considérer la différence f(a) — J (a); posons donc
ES 1. . p(a) = log T'(a) — (a — }) log a — J (a); on aura 7 £ p(a) — p(a) = 0,
c'est-à-dire que la fonction (a) est uniforme dans le vrai sens du mot, sans limiter la marche de la variable, Il est facile à voir aussi que (a) reste toujours finie et est, par conséquent, holomorphe dans tout le plan.
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a). 215
Mais il n’est pas nécessaire d’insister sur ce point, car nous allons voir qu’on obtient facilement l'expression explicite de cette fonction œ (a).
4. Pour cela, il est nécessaire d'étudier d’abord la fonction J (a). Si
l’on écrit LE à P (x) P( ; ur ne che d c+f x+a
on a, d’après la définition de P (x),
D... . jo= ar x, c’est-à dire D il = ZE e+ntpio(t tit) 1),
et il est clair qu'on a
ON 1@—J@+D=@+ biog( +) —1.
L'équation (14) peut donc s’écrire
1@=YUGa+n—-J@a+n+D],
donc RS, : . … . limJa+n=t0.
(an = >)
5. Les formules (15) et (16) nous permettent de reconnaître sans difficulté la nature de la fonction y (a). En effet, nous calculons d’abord p (a+ 1) — y (a) = log a — (a + 4) log (a + 1) + (a — log a — J (a +1) + J (a), c’est-à-dire, d’après (15),
216 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).
Donc, si nous posons p (a) = — a + y (a), c’est-à dire (17) . . . . y(a)=logr(a) — (a — 4) log a + a — J (a),
la fonction y (a) admettra la période 1
Soit x un entier positif, on aura V@+n) —y(n) = — log l'(a + n) — log Un) — (a + n — +) log (a + n) + + (n — 4) log n + à — J (a + n) + J (n).
Faisons croître indéfiniment l’entier #, à cause de la périodicité de
la fonction y, le premier membre ne varie pas et reste égal à y (a) — y (0).
Pour avoir la limite du second membre, il suffit de remarquer que,
d'après (3), lim [log T'(a + n) — log l'(n) — a log n] = 0 (n— ©)
et, d’après (16),
lim J(@+n#)—=limJ(n) =0, (n = wo)
On obtient ainsi
La fonction y se réduit donc à une constante que nous désignerons par C, et nous obtenons ainsi
Éd log T'(a) — (a — 4) log a — a + C + J (a).
6. Il nous reste à obtenir la valeur de la constante C. Remarquons d’abord que la valeur de C est évidemment réelle. Cela
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(à). 217
étant, remplaçons, dans la formule (18), & par ui, u étant réel et positif, et faisons croître indéfiniment w. C étant réel, on pourra négliger la partie purement imaginaire et l’on aura
C—lim. partie réelle de [log T'(wi) — (ui— }) log (ui) — J (ui)].
Or nous verrons bientôt que ON. , . 0e INR
et, d'autre part, on a
p.r. (wi — À) log (ui) = p. r. (ui —4) lo u +5 = 4 o8u 7"
et, d’après la formule (5), p.r. log l'(ui) — 4 log (2x) — 4 log u — 4 log (e7" —e-xu); C=— lim } log (27) — 4 log (1 — 27%) — 4 log (27) et, définitivement, (20) . . . logT'(a)—(a — }) log a — a + 4 log (2x) + J (a).
C'est la formule que nous voulions obtenir et qui servira de point de départ à notre déduction du développement de log r'(a). Elle ne se distingue de la formule qu’on emploie ordinairement dans ce but que par la forme sous laquelle s’est présentée la fonction J (a).
En effet, la formule (10)
est valable dans tout le plan et admet seulement comme coupure la partie négative de l’axe des abscisses, tandis que les formules de Binet
co L É 1 e—ax nn J@=/ =: -5 — da, : 0 1 j® adzx 1 (22) MR ire .) & + 2 log 5)
supposent essentiellement que la partie réelle de a soit positive.
218 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).
Cette formule (10) est due à M. Bourguet qui l’a obtenue sous une forme légèrement différente dans un travail inédit, mais dont nous avons eu connaissance.
M. Bourguet obtient, en effet, une formule qui, après un changement de variable, peut s’écrire
© dx sin2nrx J(o)= , Z , t+a n x
et, comme on a, pour toute valeur réelle de x,
2) 1. Pos
1 da la relation avec la formule (10) est évidente. 7. La formule (16) montre que J (a) tend vers zéro lorsque a croît indéfiniment d’une certaine manière
Il est important de généraliser ce résultat. Pour cela, reprenons la formule (13)
et remarquons que
dr
f'atrtau=f Ts MÉT …s
{f" ie UE ee m1 atatz id ainiisatt ‘ donc
(24) . .J(a)— E/'« JR envie Le
ou
“ 2(4—zx} dx Jam HAE
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a). 219 Supposons d’abord «a réel et positif, J (a) l’est aussi, et, à cause de
@+n+z(a+n+1—zx)=(a+n)at+n+1)+x(i- x),
on aura
A fŸ 2(4—xÿ dx 1 1O<Z] Gin @+n+n =5> @+n@+n+ D PUS a Prenons maintenant, dans la formule (25), a=kReie,
R étant positif, et l'argument 0 compris entre les limites + x. Il viendra évidemment
“AS | 2(k— x) dx modJ(Re mL mod (ReiôÆn—+Ezx) (Re0En+ti—x)
Nous remarquons ici que n + x et n + 1 — x sont réels et positifs. Or, b étant réel et positif, on a
mod (Reï0 + b) = V(R + 6} cos? 4 0 + (R — »Ÿ sin? 4 0, mod (Reïo + b) > (R + b) cos 4 6,
donc | — x) dx vd D < 568 : Élus (R- er (R+n+1i—x) c'est-à-dire mod J (Reio) < ÿ 7) et, à plus forte raison,
io ARRET D. 5, mouJRe )< 13 R cos 4 0
220 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).
On voit par là que, lorsque a croît indéfiniment, J(a) tend, en général, vers zéro. Il ne pourrait y avoir exception que dans le cas où l'argument 0 tendrait en même temps vers la limite Lx ou vers — x. La formule (19) que nous avons admise provisoirement est aussi une conséquence immédiate de la limitation que nous venons d'obtenir.
8. Considérons maintenant le développement de J(a) suivant les puissances descendantes de a. Si dans la formule (10), nous remplaçons P(x) par son développement en série trigonométrique (23), on aura
à no. D sin nez +
et, en intégrant par parties 24 — 1 ou 24 fois, on obtient
(27) . T()= + — noie D” ‘fe TBE =; + Jx (a),
le terme complémentaire J;(a) se présentant sous l’une des deux formes suivantes :
COS 2n7r x dx
J(a)=(—1).1.2...(8k—0)/ be DE rar] Ge ajrr”
Jk(a)=(— 1} .1.2...(24) L b> ce us
Les nombres de Bernoulli s’introduisent dans la formule (27), par suite de la relation
Posons
sin2nrx P(x)=(—1)*.1.2...(2H D IE ral 1 4
on a évidemment
Px(x +1) = Px(x),
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a). 221
et la seconde des formules (28) peut s’écrire
Px (x)
be uit us fa) l'a+anée
ou encore
ne ROAD Es mn 0 0
Si l’on remarque que Px(1— x) = — P;(x), on déduit facilement de (30) cette formule
3 = 1 1 (31) po Pr(a) 2 ne ae dx.
Ces diverses formules présentent la plus grande analogie avec les formules (10), (13), (24). Il faut remarquer, en effet, que dans l’intervalle 0<x<1, P;(x) est un polynôme du degré 24<+1 en x dont l'expression est bien connue.
Il est clair aussi que
PAP EE AP EE) VE ES dz:
la valeur explicite de cette différence se déduit des formules (27) et (15).
9. Nous allons chercher maintenant une limite supérieure pour le module de J,(Reï?). La première des formules (28) conduit facilement au but: il suffit de remarquer que
COS 2n7xx .2k—1l)e 1 B, =) 22k— RS | UE 12% + HE
et
mod (x + Reï0) > (x +R) cos 4 4
222 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).
pour obtenir immédiatement
Bz (2k—1)2#R%-
(32) . . . modJ,(Reïe) < (séc 4 0)°#,
Pour obtenir une autre limitation, nous déduisons de la seconde des formules (28) par une intégration par parties
; 1 — 2n7n d (83) Je(a)=(—1)".1.2...(2k+ nf x HE TCEUES mars
d’où l’on conclut
| 1.2...(2k+41) [<= 1—cos2nxx dx mod Je (R ET on LOF FE j ie DR FI (na) + (c E R)# F2 c'est-à-dire mod J;(Reï0) < {cos} DURE mod Jz (R).
Mais, lorsque a est réel et positif —R, la formule (33) montre que Jx(R) a le signe de (— 1}, et, à cause de
ans 1
ROBE TE prrs R?#+1
Jx(R) et Jx41(R) ayant signe contraire, il est clair que
Bxr+: 1 MOUR) DEEE RER?
donc s 2k +2 (34) . . . modJ,(Reï0) < Bx+1 (séc & 0)
(2kL1)(2kX +2) R?2E+t
Pour 4—0, on retrouve la limitation (26).
On voit que, R croissant indéfiniment tandis que l'argument 4 reste constant, on a
lim R° J4(Reï0) — 0,
tant que le nombre fixe a est inférieur à 24 + 1.
SUR LE DEVELOPPEMENT DE log l' (a). 223
10. Soit (2) une fonction uniforme dans cette partie du plan où la partie réelle de z est Z0. Supposons de plus que f (2) n’ait ni pôles ni points singuliers essentiels dans ce domaine. Alors on aura, la partie réelle de a étant positive,
D oHetRuce Nes 6 NeR à
— QaniJ a—2 (C)
l’intégrale étant prise sur un contour C se composant de la partie de l’axe imaginaire de — Ri à + Ri et du demi-cercle obtenu en faisant
varier 0 de + 5 à — . dans l’expression z2— Re. On doit supposer
ici que le rayon R soit assez grand pour que le point a soit compris à l'intérieur de C. Le point — a étant évidemment en dehors de C, on a
D PL E Fpo), et, par suite, Me note ob say ia.
Supposons qu’on ait (38) . . im /mod de = im 3 / mod f(e) dz 0, F2:
l’intégrale étant prise sur le demi-cercle de rayon R, la formule (37) donnera, en faisant croître indéfiniment R,
+100 1 pres ; fo=; | STE) de = rs, au,
la variable « parcourant les valeurs réelles de — à + «.
Dans le cas où la fonction f(2) prend des valeurs conjuguées pour des valeurs conjuguées de la variable, cette formule se simplifie encore, et, en posant
On on un or sb fut) = + 84,
294 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).
on aura 1 ro ad (AOpE:: 54. grrr re Bus PETER "Ru LA
Les formules (35) et (86) donnent encore, par soustraction,
d’où l’on déduira par un raisonnement semblable
ŒHiun0 ie ice ler à Pete
mais ici il faudra remplacer la condition (38) par celle-ci, (42) . . lim | mod Êe dz = lim R /moû/(o)d:=0, R—«,
l'intégrale étant prise encore sur le demi-cercle de rayon R. Les formules (40) et (41) montrent comment on peut calculer (sous certaines conditions) la valeur de
f(a) partie réelle de a >0,
en connaissant seulement soit la partie réelle, soit la partie purement imaginaire de f(ui). Elles présentent une certaine analogie avec la formule qui permet de calculer la valeur d’une fonction # de deux variables réelles satisfaisant à
Su , du de Tag 0
en tout point à l’intérieur d’un cercle, si l’on connaît la valeur de w sur le contour du cercle.
La fonction f(:)— log z satisfait à la condition (38): toutefois elle devient infinie pour 2—0; mais, l'intégrale qui figure dans la formule (40) conservant un sens, il est facile de voir que cette formule
SUR LE DÉVELOPPEMENT LE log l” (a). 225
reste applicable dans ce cas. Il en sera de même de la fonction J(2), qui satisfait évidemment à la condition (38) d’après la limitation (26), la circonstance que, pour z2—0, J (2) devient infini comme log z n’empêchant pas la formule (40) de rester applicable. A l'aide des formules (20) et (5), on trouve, dans ce cas,
= À log É HA xx) ,
donc
1 j* adu 1 =] He are)
C’est la formule de Binet, que nous avons rappelée plus haut (22).
11. Pour montrer une autre application de la formule (40), nous considérons la fonction
C(240)T(2+1—0b), b étant une quantité réelle, et nous remarquons que le module de cette
fonction pour z—iu (u étant réel) s'exprime par les fonctions élémentaires. En effet, ce module est égal à
VT (+ iu) T(b—iu) T(1—b +iu) (1 — b — in); mais
TT
Pb 0) Pb Era
TT sinz(b—iu)
D'(b— iu) T(1— 0 + iu) =
d’où l’on conclut la valeur du module
Vezru L e—27u — 2 cos 2bx
Cela étant, on s'assure facilement que l’on peut prendre dans la formule (40)
ss NE AR | D'()r (2) $ log z,
226 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l' (à).
mais il est clair qu’il faudra supposer 0<b<1
pour que la fonction f(2) reste finie tant que la partie réelle de z est positive. En effet, en introduisant la fonction J(2), on voit que f(2) tend vers zéro lorsque z croît indéfiniment (la partie réelle de z restant toujours Z0), en sorte que la condition (38) se trouve satisfaite. Un calcul facile donne d’ailleurs
e2xu RL e—2ru — 2 cos 2bx
da=— {log (ezu — e—-nu , donc r@a+b)r@+1—D) (48) à log T'(a) T'(a) … a 1 Ff° adu e?nu Le—-2ru — 2c082bx (0Z<b< 1).
