Il est clair que la fonction

e2zu LE g—2xu — 2 cos 2bx (eru — e—zru)

log

reste toujours positive ; en écrivant donc

ne s le put? u2# té a Er Lie 1) a?k—1 +(— PE)

et supposant a réel et positif, on obtiendra pour l'intégrale qui figure au second membre de (43) un développement suivant les puissances descendantes de a, qui jouira exactement des mêmes propriétés que la série de Stirling.

Nous écrivons ce développement ainsi

7 |3 og Es LL LOL OU Fe

"i @ FD RE + Re,

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l' (a). 227

en posant

Pan+1(b) (—1}" F1 je e2an+Le-2zu — 2çco82bn + HE 27 a. (onr— ex)

La fonction ge, +1 (b) n’est autre chose que le polynôme de Bernoulli, qu’on peut définir, soit par le développement

dx —

k bte (be +0) +. . + px(b) dé ES a ER soit par la condition que, pour b entier et positif,

pe) = +2 +... + (b— 1}

La formule (45) montre clairement que :4+1(b) a constamment le signe de (—1}*+1 dans l'intervalle (0, 1), et est croissante dans l’intervalle (0, 4), tandis que

Pan+1(1 — b) = pan+:1 (bd).

C'est à M. Hermite qu'est due l’idée de faire dépendre les propriétés des polynômes de Bernoulli de leurs expressions par des intégrales définies. La formule qu’il a obtenue dans le tome 79 du Journal de Borchardt

. ep le +e-an un+i du Pan+1(b) =(— 1)" +14 sin ox. (RE e2ru L e—2xu — 2 co82bx

se déduit de (45) par une intégration par parties. Nous remarquons encore que la série infinie

er LP + ie ER IC Ar

8 a o & est divergente. C'est là une ere de ce fait, facile à démontrer,

qu’en posant

On = [ u" f(u) du,

228 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).

f(u) étant une fonction qui reste toujours positive, on a GG Cn+1 ë; € Co € ... ! Cn « M ?