TT

l'arc tang étant pris entre + 2 ; l’entier 4 est nul si l’on veut que a

s'annule en même temps que 4.

Cela étant, posons

fe = te ETC Dos

SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l' (a). 229

dans la formule (41). On voit facilement que sur le demi-cercle de rayon R le module de (2) devient très petit et s'annule pour R= ©: donc la condition (42) se trouve satisfaite. Un calcul facile donne ensuite

e—xru

28—=(4 —0b) )a— arc tang (PE à cotb),

spé st | e-%ru sin (2bx) | 2e [1 —e-27u co8(202)|’ si l’on remarque que

(4 — b)a = arc tang (cotbx),

et, par conséquent,

plog TT. —(b— })log a —

(46) me u du e—?ausin(2b)

d + u? a ROBE — e—2ru Co8(2b 7) (0<b< 1).

L’arc tang qui figure dans cette formule ayant un signe constant, qui est celui de sin (2b7), on voit que l’on peut déduire encore de cette formule un ‘développement en série qui jouira des mêmes propriétés que la série de Stirling

T'(& + b) + log — ——=(0 —}loga— un) (a + 1 —.b)

(48) . penÜ) C D ff un-1 arc tang AB Sa rad TT

CT" 1—e-2ru cos(2bx)

J | Ici gn(b) est le polynôme de Bernoulli, tel que nous l'avons défini précédemment. On voit que Pan (1 — b) = — pan (b), et que dans l'intervalle (0, 4), g2.(b) a le signe de (— 1)" 1.

230 SUR LE DÉVELOPPEMENT DE log l'(a).

14. On peut se convaincre facilement que les fonctions + qui figurent dans les formules (44), (45), (47) et (48) sont les polynômes de Bernoulli. En effet, la somme de (44) et (47) donne

F (a + b) (b b) D cn = blog a + A Ô -204%0

Or supposons due et positif; on a

op —a@+ D... a+b— D vioga+ À io(1+ À)

ou b—1

2 3 D sig |" —jstsa—..

et l’on a précisément b—1

On voit aussi, par ce raisonnement, que, lorsque b est entier et positif, le développement (49) est convergent sous la condition

mod a > b— 1.

De même, si b est entier et négatif, on verra que ce développement est convergent sous la condition

mod a > — b.

Mais, pour toute autre valeur de b, la série (49) est toujours divergente.

(Paris, C.-R. Acad. Sci., 110, 1890, 267—270.)

Sur la fonction exponentielle.

(Extrait d’une Lettre adressée à M. Hermite.)

Après quelques tentatives, voici la démonstration à laquelle je me suis arrêté pour prouver l'impossibilité d’une relation de la forme

1) .. : . . NHeN HenN+H...LeiN, — a, b,...,h étant dés nombres entiers, ainsi que les coefficients N, N,, :. ARCHOS | PP

Soit

F(2)—=20(2—aju+h(z—bhu+k..,(2—hju+kx un polynôme de degré =(n+l)u+k +k+... +,

à coefficients entiers; « est l’entier auquel on donnera plus tard une valeur suffisamment grande; k,, k,, ..., k, sont des entiers fixes: on a, du reste, 4, —0 ou —1. J'indiquerai plus loin leurs valeurs qui dépendent uniquement de a, b,...,h; N;,..., N4. Je n’ai maintenant qu’à reproduire, avec de très légères modifications, vos formules F (z F’ (2 FM(z sa, r0+.. +:

a Je" F(de=5(0)— #8 (a),

[er de=5 (0e 50),