Supposons maintenant
x = cos O, RO: 0 PA Cm erD, E—l—e-i0,
La droite D se confond avec l'axe réel; le contour abcd peut donc être tracé tout entier dans la moitié supérieure du plan; il en sera donc de même du chemin dans l’Intégrale transformée
= du.
Pour achever le calcul de cette intégrale, nous suivons la méthode donnée par M. Hermite dans son Cours de la Sorbonne (3 édition, p. 178). En intégrant par parties n fois, il vient, en faisant attention à la formule (21),
asp, 1pn °C) au
ou
a=pr(yf fe POP qu
SUR LES POLYNÔMES DFE LEGENDRE. 251
Or, x étant réel et compris entre les limites + 1, et le chemin d’intégration étant tracé dans la moitié supérieure du plan, ona
[= (E? Fe EE) + ai,
6 U — % A = P" (x) log its sg x — 2R, (x).
4, en effet, doit être de la forme a P*(x) + BS”(x); on a donc nécessairement
D [Tes
(24) . . . . . . . A—2Sr(x)+niPr(x)
et de même
B—2S(x) —niPr(x).
Il est aisé de vérifier la formule (23): car on constate facilement que, P* (x) étant un polynôme quelconque en x, l'intégrale du second membre est toujours la partie entière de
x + 1 Pn (x) log Et)
12. Nous pouvons obtenir maintenant un développement en série de S*(cos @) entièrement analogue au développement de P* (cos 8).
En effet, les formules (4) et (24) donnent l(—u) du
Vu(i—ku)
S" (cos 0) = partie réelle de £+1V1—K% 1
c’est-à-dire
À jemO+Hai fl(l—u du S' (cos 9) — partie réelle de Ed +é — "©" ; ag V2 sin 6 J Vu(i—ku)
d’où l’on conclut
2 sin (n © + & a) 1° sin (n © + $ a) 25) — S? D) = — C, CEE de dun DE it k V2 sin © 2(2n +3) V(2sin Op ja + Le 8 sin (n © + $ a) 2.4(@n+3)@n+5) V(smoÿ
" 1.9.0 sin(n@+%a) 2.4.6(2n+3)(2n+5)(2n+7) V{(2sin 0) s Éd .. i 6...(2n)
n 3.6 TE
Quant à la convergence de ce développement, et l'erreur commise en prenant seulement les p premiers termes, on arrive évidemment à des conclusions parfaitement analogues à celles obtenues précédemment.
En remplaçant @ par 7 <tpassant à la limite pour n= w, on trouve
a 37 +) 2 4 ne Vo 8 Ve 8.16 Ve
On reconnaît encore facilement que
kan ) S (oo Er Emi n 32
