K(9) = — TE

a le signe de (— TE me d’où l’on conclut que l'équation S" (x) = 0 admet n + 1 racines comprises dans les intervalles Lc0s GE) , COS EE W=20, 1:85.)

Entre deux racines consécutives de S” (x) —0 se trouve une racine de P*(x) —0, ce qui est bien conforme à un théorème connu dû à Sturm.

Enfin, de même que nous avons pu passer de la formule (7) au développement de Heine (13), on pourra déduire de la formule (25) cet autre développement obtenu aussi par Heine (Fonctions sphér., t. I, p. 130)

2 qn 1(n +1) (2). S"(cos 8)—=C, [cos (n + 1) @ + T@n +9 (n + 3)0 + 1.8(n+1)n+2) FEMININ TN TR. A (0<L<O< x).

(Ann Fac. Sci., Toulouse, 4, 1890, J. 1—10.)

Sur les racines de la fonction sphérique de seconde espèce.

Nous nous proposons de développer ici quelques Remarques, qui nous ont été suggérées par l'étude du Mémoire de M. Hermite sur le sujet indiqué ci-dessus (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IV).

Soient donc, en adoptant les notations de M. Hermite, X,—F (x) le polynôme de Legendre du degré n, R(x) la partie entière du produit

FO +estemt.) ensuite

D QD) = F (0) 108 (2 TT) — R (x)

la fonction sphérique de seconde espèce, M. Hermite a étudié l'équation Q”(x) = 0, et pour cela il pose

log = “nie, PSE!

ra=te-1 on (it).

Il obtient ensuite la distribution des racines de l'équation f(z) = 0 sur le plan des z. Nous nous sommes demandé simplement ce que deviennent ces résultats si l’on revient à la variable originale x, afin de connaître ainsi la distribution des racines de l’équation Q"(x) = 0 sur le plan des x.

1. La fonction analytique Q"(x) est non uniforme et elle admet une infinité de déterminations. Ces déterminations proviennent de ce que, dans l’expression (1), le logarithme a une infinité de valeurs différant l’une de l’autre par des multiples quelconques de 2zi; les déterminations de Q”(x) différent donc par des multiples de xiF(x). Pour une valeur quelconque de x, il y a en général une détermination du logarithme et une seule, telle que la partie purement imaginaire se trouve comprise entre + zi. Il n'y a exception que dans le cas où cette partie imaginaire serait exactement — + zi, ce qui n’a lieu que lorsque x est réel et compris dans l'intervalle (— 1, +1).

Si l'on pose

b a une signification géométrique très simple. Soient, sur le plan des z, P, À, B les points qui représentent les quantités x, + 1, — 1 respec-

tivement; alors b est égal à l'angle XPB, cet angle étant pris avec le signe + lorsque P est au dessous de l’axe des abscisses, avec le signe — lorsque P est au-dessus de cet axe. Pour avoir les autres déterminations de Q*(x), il faudrait ajouter à l'angle ainsi déterminé, et qui est compris entre + x, des multiples quelconques de 2 x.

Mais appliquons une coupure le long de l’axe des abscisses de — 1 à + 1, et supposons que x ne soit pas sur la coupure. En adoptant alors pour le logarithme la valeur dont la partie purement imaginaire tombe entre + zi, on a une branche parfaitement déterminée de la fonction analytique que nous considérons, et c’est cette branche particulière que nous désignérons par Q"(x). C’est cette fonction Q"(x) qui, lorsque mod x > 1, donne un développement convergent de la forme

M... +: : + SES arts +atot

car on sait que, dans le produit

FC (S ++ sste),

les termes avec x-1, x-2, ,.,, x-" manquent.

Il est clair, d’après ce qui précède, que l’on a Q"x+ei) — Q'(x—ei)—=—7niF(X),

x étant sur la coupure et & positif infiniment petit. Car pour æ+ei la partie imaginaire du logarithme est — xt, pour « — ei elle est + x1.

Par conséquent, si l’on traverse la coupure en allant de la moitié inférieure du plan dans la moitié supérieure, la fonction analytique Q"(x) prendra une série continue de valeurs, mais on passe ainsi de la branche Q*(x) à la branche Q*(x)+zriF(x. Tant qu’on ne franchit pas de nouveau la coupure, on a là encore une fonction continue et uniforme, et qui répond à une détermination du logarithme dans laquelle la partie purement imaginaire est comprise entre + xi et + 3xi.

Si l’on revient à la variable

introduite par M. Hermite, on voit que, dans le plan des z, la bande comprise entre les deux droites y = + x correspond à la branche Q" (x) telle que nous venons de la définir. La bande comprise entre y — +xi et y—= + 3xi correspond à la branche Q*(x) +zniF(x), ....

Lorsque x est réel, mais non sur la coupure, la partie imaginaire du logarithme est zéro ou plus généralement = 2kzi. Pour la branche Q" (x) elle est nulle, ce qui répond aussi sur le plan des z à l'axe des abscisses. Dès lors on voit facilement que, pour la fonction Q"(x), la moitié supérieure du plan des x correspond sur le plan des z à la bande comprise entre les deux droites

y =0 Li Yy=— 7.

Au contraire, la bande entre y—0 et y—=+4x (sur le plan des z) correspond à la moitié inférieure du plan des x. De même, pour la fonction Q*(x) + zxiF (x), la moitié supérieure du plan correspond à la bande comprise entre les droites = et y=27 sur le plan des z, et la moité inférieure du plan des x à la bande comprise entre

y=27 et y=8n,

Si l’on imagine dans le plan des x un cercle tel que le rapport des distances d’un de ses points aux points À et B soit constant, et qu’on parcoure ce cercle constamment dans le même sens, la partie réelle de

restera constante, mais sa partie purement imaginaire variera toujours dans le même sens entre — wi et + oo1.

2. On peut passer maintenant directement des résultats obtenus par M. Hermite, et qui se rapportent au plan des z, aux propositions équivalentes se rapportant au plan des x.

Considérons d’abord, sur le plan des z, la bande comprise entre les droites y= + x et qui correspond à la branche Q*(x). La fonction

es of +1

ra=(e—1»"q (0 T;) admet exactement 2» + 1 zéros dans cette bande, mais il faut remarquer que toutes ces racines sont nulles. En effet, d’après la formule (2),

et LI] 5: ez—1\%+1

CAE ES Ds a déjà un zéro d'ordre de multiplicité n +1, 2—0; donc f(—0 a la même racine avec l’ordre de multiplicité 2n +1. Abstraction faite de cette racine multiple z2—0, l’équation f(2—=0 n'admet donc aucune autre racine dans la bande que nous considérons; et, puisque z = 0

correspond à x — «, il en résulte que l'équation

Q" (x) = 0 n’admet aucune racine (finie).

La bande comprise entre les droites

= A et y=27 sur le plan des 2 ne renferme aucune racine de f(2), et dans la bande comprise entre y=27x et y=37 se trouvent » racines. On en conclut: l'équation

Q"(x) +ziF (x) = 0

n'admet aucune racine dans la partie supérieure du plan, mais elle en a précisément » au dessous de l’axe des abscisses.

Généralement l’équation

Q"(x) + kniF(x)=0,

où k est entier (non nul), a toujours exactement » racines qui se trouvent au-dessous de l’axe des abscisses lorsque k est positif, au-dessus lorsque 4 est négatif.

On remarquera que les zéros + 2zi, + 4xi, ... de la fonction

dan À 2 n’introduisent point des zéros dans (2), mais contrebalancentseulement e L1 e LI

e—1 e® — 1 | les valeurs 2= +2ni, + 4xni, ... sont des pôles pour cette fonction.

les pôles de a" Ï car, tandis que z — 0 est un zéro de Q”

8. On peut retrouver ces résultats par la méthode suivante. Considérons la fonction Q"(x) dans l’espace annulaire compris entre les

Fig. 1. Fig. 2.

PAS ENTRE dé NC f | 4 | \ + Daho à DA | B es NE El — +) Ka T SF a —<- | N | ! ê

courbes C et C’, C étant un cercle de rayon très grand, C’ enveloppant étroitement la coupure (Fig. 1). Dans ce domaine Q*(x) est partout uniforme et régulier, c’est-à-dire développable par la série de Taylor, D’après un théorème de Cauchy, le nombre des racines de Q* (x) = 0 dans ce domaine peut donc s’obtenir en divisant par 2 x l'accroissement total de l'argument de Q"(x), lorsque x parcourt successivement les contours C et C’ dans le sens indiqué (Fig. 1). Or, sur le cercle C on a

Q" (x) — TI (1 +6) Il 17

le module de & restant aussi petit qu’on voudra. La variation totale de l'argument de 1++ est donc nulle sur le contour C et l’accroissement de l’argument de Q*(x) sur ce contour est

Pour avoir la variation de l'argument sur C’, nous réduirons ce contour à la double droite de —1+: à + 1—2:, et de deux cercles infiniment petits entourant les points A et B et tels que le rapport des distances aux points À et B est constant pour un point sur chacun de ces cercles. Sur le cercle enveloppant le point A, la partie réelle de

log”

est alors constante, positive très grande, tandis que la partie imaginaire est toujours comprise entre +zi. Ensuite, on a sensiblement sur ce cercle F(x)—1 et R(x) égale à une quantité réelle.

On voit donc que la partie réelle de Q" (x) est constamment positive très grande, tandis que la partie purement imaginaire est très petite par rapport à la partie réelle. La variation de l'argument de Q"(x) est donc insensible, et il en est de même pour le cercle enveloppant le point B. Puisqu’on sait d'avance que la variation totale de l'argument sur C’ doit être un multiple exact de 2x, nous pouvons donc nous borner à calculer la variation de l’argument sur la droite double de —1+e à +1—e, on doit prendre

og (os) = 0e (TE) — si, et en allant de +1—eà —1+e

log (24) = 108 (FE ne 2) Ha

Mais on voit facilement (parce que la fonction Q* (x) est soit paire, soit impaire) que la variation de l’argument est la même dans les deux

cas. Il suffira donc de calculer la variation de l’argument de

3 r@log (Tr E< 2) +ri— =RG&=X + Yi,

SUR LES RACINES DE LA FONCTION SPHÉRIQUE DE SECONDE ESPÈCE. 259 æ diminuant de + 1—: à —1+Le et de doubler le résultat, Or,ona

Laye

et l’on reconnaît facilement que l’équation X —0 admet n + 1 racines

PR PTBPM 2... Dhnsi > —L

Dans les intervalles de ces racines se trouvent les » racines de Y —0, L;, Lo, ve.» Tn »

Y DL D Ye D Lo... An D Yn+1.

Il importe de remarquer que l'équation X —0 ne saurait avoir d’autres racines réelles dans l'intervalle (— 1, + 1), car, d’après un théorème de Sturm, on en conclurait pour l'équation Y —0 plus de n racines, ce qui est absurde. Or on reconnaît maintenant sans difficulté les variations de signes de X et Y lorsque x décroît de 1—e&à —1+4e, et qu’on peut déduire du Tableau suivant

F3 Signe de X. Signe de Y.

Ye 0 FN

Lo + 0

Zn 2 0

Yn +1 0 (— 1} bel D (— 1} +1 (— 1}

Pour x=+1—e:, X est positif très grand, Y positif fini, l'argument positif très petit. Pour æ— y, l’argument est + 2: donc l’accroisse-

ment de l'argument est, pour l'intervalle (+ 1 — e à y),

Il est clair ensuite qu’on a pour les intervalles indiqués les accroissements de l’argument suivants

En faisant la somme et doublant, la variation totale de l’argument sur le contour C’, est

+2x xX(n+1), et pour le contour C on avait un accroissement —2n X(n +1);

donc l'équation Q"(x) —0 n’admet aucune racine.

4, La même méthode s'applique à l’équation Q"(x)+zriF(x) = 0.

Dans ce cas on a sur le cercle C Q'(a +riF(x) = Ca" (1 +e); donc la variation de l'argument sur C est +2xzXn.

Mais il faudra prendre maintenant, en allant de —1+e+à +1—e,

Y = + QT,

Xdet à F (x) log Fa —R(x),

Y=+ ÈS xF@

La variation totale de l’argument sur C’ devient nulle, les deux parties se détruisant ; donc l’équation : Q"(x) +riF(x) =0 admet n racines. D’après le théorème de M. Hermite, ces # racines se trouvent au-dessous de l’axe des abscisses; on peut retrouver ce résultat en évaluant la variation de l’argument sur le contour abcdefga (Fig. 2). La variation est

Sur abc, +nXn,

Sur cd, — 5:

Sur ef, +nx(n+1), Sur ga, —+

en sorte qu'on trouve n racines à l’intérieur du contour. Les mêmes considérations s'appliquent évidemment aux autres branches de la fonction, et l’on pourrait même déterminer le nombre des racines de

Q"(x)HkniF(x) —0

pour une valeur non entière ou même imaginaire de 4.

5. La fonction Q" (x) peut s'exprimer par l’intégrale de M. Neumann

Q" (x) — ET F(u) du