D | EURO

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on aurait aussi

+1 Fu} du (4) Sn F T—U car es Te Fu y ED qu + F (0 - = 8

et dans le second membre la première intégrale s’annule en vertu des propriétés de F(u), la seconde en vertu de (3). Or, je dis que la relation (4) est impossible; soit, en effet,

x = a + bi,

on devrait avoir

Poe g(a—u—bi)du—0.

La partie purement imaginaire ne peut être nulle, à moins qu'on n’ait b—0; mais x serait réel et, n'étant pas sur la coupure, x—u ne changerait pas de signe, et la relation (4) est encore impossible.

(Nouv. ann. math., Paris, sér. 3, 9, 1890, 479—480)

Note sur l'intégrale L e—w du.

M Méray a montré récemment (Bulletin des Sciences mathématiques, 1889) qu’on peut obtenir la valeur de cette intégrale à l’aide de la formule de Wallis. La déduction suivante se fonde sur la même idée, mais on la trouvera peut-être un peu plus simple.

Soit

ee: 2 m= | u"e—" du;

une intégration par parties donne

d’où l’on conclut,

as.

L'expression

In +1 + 2xlntaln if u-(u+aÿe- du

est évidemment positive pour toute valeur réelle de x, donc

H « [1 In+:

n ou, à cause de I,+1— 9 In1;

D < Sr

On a, par conséquent,

Beggin Lx < I2k-1lokp1,

c’est-à-dire

er bi Lx > 4k+2 ’ 13% < 4k ’

en sorte qu’on peut poser

s: (1:$.6:..2) 1 Be uxps Ut 0<e<,

ou, en exprimant l»x par L,,

[2.4.6...(24)P [1.3.5...(2k — LP (24+ DU + €).

En faisant croître indéfiniment l’entier k, il vient, d’après la formule de Wallis,

2, L=S Var

(Ann. Fac. Sci., Toulouse, 4, 1890, 1— 103.)

Sur la théorie des nombres.