SUR LA DIVISIBILITÉ DES NOMBRES

1. L'idée de nombre a son origine dans la considération de plusieurs objets distincts.

C'est une notion qui s'attache à cette considération, où l’on fait abstraction de la nature des objets, et qui est, d’après notre conviction intime, indépendante de l’ordre dans lequel on envisage successivement les objets donnés.

Ce dernier point est essentiel et constitue, à proprement dire, le seul axiome de toute la science des nombres. Peut-être même est-il possible de ramener cet axiome à quelque chose de plus simple encore.

Si l’on se rappelle, en effet, que l’on peut passer d’une permutation à une autre par une série de transpositions opérées sur deux éléments voisins, il semble qu’au fond il suffit d'adopter l’axiome dans le cas de deux objets.

Mais, sans insister sur cette question, nous nous bornerons à observer que les relations exprimées par les équations

a+b—=b+a, a+b+c—=a+(b+c), rs abc—bac—=c(ab), «i a(b+c)=ab+ac, ..., doivent être considérées comme des théorèmes qui découlent de l’axiome fondamental qui donne naissance à l’idée de nombre.

2. En comparant un nombre a avec les multiples 0, 6, 2b,...d'un second nombre b, deux cas peuvent se présenter. Ou bien a est égal à un multiple de b, alors a est divisible par b, b un diviseur de a, ou bien le nombre a tombe entre deux multiples consécutifs de b. Dans ce dernier cas, il existe un nombre m tel que a=—mb+c, c étant positif, mais inférieur à b.

8. Étant donnés plusieurs nombres a, b,c,...,1, on peut toujours trouver des nombres qui sont en même temps divisibles par a, par b,..., par L Parmi ces nombres qu’on appelle communs multiples de a, b,c,..., 1, il y en a un nécessairement qui est le plus petit et qui s'appelle le plus petit commun multiple des nombres a, b, c,..., 1.

Théorème I. — Le plus petit commun multiple »m des nombres a, b,c,...,1 divise exactement tout autre commun multiple M de ces nombres.

En effet, si M n’était pas un multiple de ", la division de M par

m donnerait lieu à une relation M=km+m,

où m' serait positif, mais inférieur à m. Or on reconnaît immédiatement que #' serait encore un commun multiple de a, b,c, ...,l, ce qui est absurde, puisqu'on suppose qu’il n'existe pas un tel commun multiple inférieur à m.

Il est clair qu’on peut énoncer ce théorème encore de cette manière:

Théorème If. — Si un nombre M admet pour diviseurs les nombres a, b,c,..., 1, le plus petit commun multiple de a, b, c, ..., | sera encore un diviseur de M.