Le plus petit commun multiple des nombres

a>b0>02>...2>1 est évidemment au moins égal à a, et il ne peut être égal à a que dans le cas où b, c, ..., L sont des diviseurs de a.

5. Un nombre qui divise à la fois a, b, c, ..., L s'appelle un commun diviseur de ces nombres. Parmi ces communs diviseurs, il y en a

nécessairement un, plus grand que les autres, et qui s’appelle le plus grand commun diviseur de a, b, c,..., 1,

Théorème Il. — Le plus grand commun diviseur à des nombres a, b,c,...,1 est un multiple de tout autre commun diviseur 6’ de ces nombres.

Soient, en effet, à, 9’, 8”, ... les communs diviseurs des nombres donnés. Puisque a est divisible par 6, d’, 8”, ..., il est encore divisible par le plus petit commun multiple de 6, 4’, 6”, ..., et il en est de même pour b,c,...,2. Par conséquent, le plus petit commun multiple de à, 4/, 8”, ... est encore un commun diviseur de a, b, c, ..., 1. Ce plus petit commun multiple est donc nécessairement égal à à, et 6, 8”, ... sont les diviseurs de 6. L'ensemble des communs diviseurs de a, b, c, ..., l est identique avec l’ensemble des diviseurs de à,

‘6. Pour chercher le p. 9. c. d. (p. p. c. m.) de a,b,c,...,l, on peut diviser ces nombres en divers groupes, chercher le p.g. c.d.(p.p.c. m.) des nombres contenus dans ces groupes, ensuite le p.g. c. d.(p.p.c. m.) des nombres ainsi obtenus.

On pourra donc ramener le problème toujours au cas où il n’y a que deux nombres a et b, et, dans ce cas, l’algorithme d’Euclide conduit de la façon la plus simple à la connaissance du p. g. c. d. Par une suite de divisions, on obtient les relations

a == QD +7,

b = hr

r me af 97) Lr!, INSEE re € Ne , r&-1 = gé+0y® LrE+D, y X) = g#+2rGTD,

et r%+2 est le p. g. c. d. de a et b.

Soit 6 le p. g. c. d. de a, b, c, ..…, !, alors les nombres ma, mb, ..., ml sont tous divisibles par mô, leur p. g. c. d. est donc nécessairement divisible par mô, mais on reconnaît immédiatement que ce p. g. c. d. est exactement m 0.

Pour abréger, nous emploierons quelquefois les symboles (a, b, c, ..., 1), URERC PENSE

pour désigner respectivement le p. g. c. d. et le p. p. c. m. de a, b, .…., L. On a donc

(me, mb, ..., MSN. 0 et de même ima,; mb,..,,milismainie. BR De là on peut conclure le lemme suivant qui est souvent utile. Lemme. Soient d le p. g. c. d. (p. p. c. m) des a nombres PE PS OR e le p.g. c. d. (p. p. c. m.) des 8 nombres RE AE Ve alors le p. g. c. d. (p. p. c. m.) des aB produits 00. 00,040, 2, CE ET ab, a”#’, est de.

En effet, les p. g. c. d. (p. p. c. m.) des divers groupes

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60, CV RTS:

iso sont respectivement ae, a'e, ae, ..., et le p. g. c. d. (p. p. c. m.) de ces derniers nombres est de.

7. La recherche du p. p. c. m. peut se ramener toujours à celle du p. g. c. d., et réciproquement.

Le p. p. c. m. de a, b, c est de la forme

abc bc ca a b dE

donc d doit être un commun diviseur de bc, ca, ab. Pour avoir le p. p. c. m., il faut évidemment prendre pour d le p.g. c. d. de bc, ca, ab.

Théorème III. — Le p. p. c. m. (p. g. c. d.) de a, b,c, ...,l est égal au produit abc...l divisé par le p. g. c. d. (p. p. c. m.) des produits

RM ts ser 688,,.8

8. Dans le cas de deux nombres a et b, le produit du p. g. c. d. et du p. p. c. m. est ab. Cette relation n’a plus lieu dans le cas où l’on a n nombres. Cependant ou peut rétablir l’analogie, et il faut, pour cela, considérer, non seulement le p. g c. d. et le p. p. c. m., mais une suite de n nombres qui dérivent d’une façon particulière des nombres donnés.

Nous allons entrer dans quelques détails sur cette théorie, comprise dans des recherches plus générales de M. Smith dont nous aurons à parler plus loin.

Considérons n nombres

D au 1 ten D, €, :., ,L Prenons deux nombres, par exemple a et b, de ce système et rempla: çons-les par leur p. g. c. d. et leur p. p. c. m. On aura ainsi un second système (A) (oi PRE T'ON

En répétant la même opération sur (A) pour en déduire un système (A2), puis un système (A;), ..., on finira toujours par obtenir un système dans lequel deux nombres quelconques sont eux-mèmes leur p.g. c. d. et p. p. c. m., c’est-à-dire l’un de ces nombres divise l’autre. Si l'on ordonne les nombres de ce système définitif par ordre de grandeur croissante