OR

ex divise ex41, et nous dirons que ces nombres forment le système réduit, ex est le kïème nombre réduit. En effet, on verra que ce système réduit est unique et indépendant de la manière dont on a dirigé les opérations.

9. Pour faciliter un peu le langage, nous dirons que deux nombres forment un couple réduit lorsque l’un de ces nombres divise l’autre. Il est clair que, si a et b sont un couple réduit, les groupes (A) et (A.) sont identiques; on peut donc se dispenser de combiner les couples

réduits. Si tous les couples de (A) étaient réduits, ce groupe serait déjà le système réduit.

Nous allons faire voir qu’en combinant deux nombres qui ne forment pas un couple réduit, on augmente toujours le nombre total des couples réduits.

Considérons, pour cela, les divers couples réduits de (A). On peut distinguer les quatre catégories suivantes:

1° Les couples réduits f, g qui ne renferment ni a, ni b. Il est bien clair que ces couples réduits se retrouvent dans (A.).

2° Les couples réduits a, f qui renferment le nombre a et qui sont tels que b, f n’est pas un couple réduit. Dans ce cas, au moins un des couples a/, f et b', f sera réduit, et ils peuvent l'être tous les deux. En effet, si f divise a, il est clair qu’il divise aussi b/, et, si f est multiple de a, il sera aussi multiple de a’. [On suppose a'—(a, b), b' =|a, b|.]

3° Les couples réduits b, f qui renferment le nombre b et qui sont tels que a, f n’est pas un couple réduit. Il est clair que.ce que nous venons de dire pour le second cas s'applique encore ici.

4° Les couples réduits a, f qui sont tels que b, f'est en même temps un couple réduit. Dans ce cas, on reconnaît facilement que les couples a’, f et b', f sont aussi réduits tous les deux. Il suffit d'examiner successivement les trois hypothèses possibles : f divise a et b; f est multiple de a et de à; f divise l’un des nombres a, b et est multiple de l'autre.

Nous avons ainsi énuméré déjà dans le système (A.) au moins autant de couples réduits que dans (A). Mais le système (A,) renferme encore le couple réduit a’, b', par conséquent le nombre des couples réduits du système (A;) surpasse au moins d’une unité le nombre des couples réduits de (A).

Par un nombre fini d'opérations, on arrivera donc nécessairement à un groupe de x nombres dont tous les couples sont des couples réduits, et qui est ainsi le système réduit. Il reste à faire voir que ce système réduit est unique.

10. On constate d’abord qu’en remplaçant a et b par a’ et b’, on ne change ni le p. g. c. d., ni le p. p. c. m. des nombres du système.

Envisageons maintenant les divers produits 4 à 4 des nombres (A), pour voir quelles modifications résultent, pour ces produits, par le remplacement de a et b par a’ et b’.

Les divers produits #4 à k se composent:

1° Des produits qui ne renferment ni a, ni b; 20 Des produits qui renferment a et b; 8° Des produits qui renferment un seul des nombres a et b.

Il est clair que ce sont les derniers produits seulement qui sont affectés par le remplacement de a et b par a! et b’. Ces produits sont, d’ailleurs, en nombre pair et peuvent être écrits ainsi

MI CNE Ver, PT ….., bP, bP', bP", bP'", ..…,

P, P’, P/,... étant les divers produits 4 — 1 à 4 — 1 des nombres c, .…., L. En remplaçant maintenant a et b par a’ et b', cela revient évidemment à remplacer chaque couple

(@P,dP), (aP'’,bP’), (aP”,bP’),

par son p. g. c. d. et son p. p. c. m. Cette opération, nous l'avons déjà remarqué, n'influe ni sur le p. g. c. d., ni sur le p. p. c. m. des divers produits 4 à k.

Par conséquent, le p. g. c. d. D4 et le p p.c. m M4 des divers produits 4 à 4 des nombres (A) ne changent pas en passant aux nombres (A). D4 et M; sont aussi le p g. c. d. et le p. p. c. m. des produits 4 à 4 du système réduit

c’est-à-dire Dr = 0...6%, Mr =enen—1...n—x+1.

De là on conclut les relations suivantes

e D € De lk Dr (e D, LT NT 2 Nas oi € L. PRE à ECM ? D, ? , Dast: , Di3

M Mx M, m=M,, . 1 = attire “S. & == , M,’ \ + Mz 1° : , My:

qui mettent en évidence ce fait que le système réduit est unique et

donnent l'expression des nombres réduits en fonction de a,b,c,...,1. Les relations

=D, =M, : M; :, En = M, = D, : D, :

reproduisent le théorème IIT. Puisque & divise +1, on voit que D divise Dx+1 Dx 1, MX est multiple de Mx41 Mx 1; on pourrait le démontrer directement en s'appuyant sur le lemme du n° 6 On voit que D; ne peut être égal à D; ,à moins qu’on n’ait D, —=D,=...—=D:=l1.

11. Lemme. a’ et b' étant le p.g. c. d. et le p. p. c. m. de a et b,

le p g. c. d. et le p. p. c. m. de

(m,a) et (m, b) sont respectivement

(m, a’) et (mn, 0°) De même, le p. g. c d. et le p. p. c. m. de

Im,a|l et |Îm,0| sont respectivement

Im,a'| et |», b'|.

Pour démontrer la première partie, on remarque d’abord que le p. g. c. d. de (m, a) et (m, b) est évidemment (m, a, b)—(m, a’). Cela étant, pour démontrer que (m, b') est le p. p. c. m. de (m, a) et (m, b), il suffira de faire voir que

Mais cela est évident; car, d’après le lemme du n°6, ona (m, a) X(m, b) —=(m?, ma, mb, ab) —(m?, ma’, ab), (m,a)X{(n, b)—=(m®, ma, mb’, a/b')—=(m?, ma', a’ b').

Pour la seconde partie, on remarque d’abord que le p p. c. m. de im,al et |m,b| est évidemment |m,a,b|—|m, b'|; et ensuite il est clair que

Im,a|xXim,b|=|im,a|X]|m, b'|.

On conclut de ce lemme que les nombres réduits de

(m, a), (m,5b), .(m,c), ..., (m,i1) sont (m,e), (m,e), (m,es), ..., (m, en).

De même, les nombres réduits de bal Las Piel, 352, Le, Ë sont im,e|, Im, @l, im, el, nés et [tien

12. Nous avons considéré, dans le n° 10, les divers produits 4 à 4 des nombres a, b, c, ..., L. ü, au lieu de cela, on avait considéré simplement les divers groupes 4 à 4, non pour en former les produits, mais pour en prendre le p. g. c. d. ou le p. p. c. m., on serait arrivé aux résultats suivants:

4 est le p.g. c. d. de |a|, |b4,.1el.,,,10/;

€ s II D 1030 …., l1E,1!

CA L La, b, ci, |a,b,d|, .,.:

puis aussi

én est ie D. p. c. m. de (a), (0), ..., ();

di : CET ) PR Le PA POP (JR à à