CRE , OC
Cette recherche n'offre aucune difficulté en s'appuyant sur le lemme du n° 11.
13. On dit que deux nombres sont premiers entre eux (ou bien a est premier avec b) lorsque leur p. #. c. d. est égal à l’unité; leur p. p. c. m. est alors égal à leur produit.
Lemme. — On a
@, bc) — (a, c) X (a, b).
En effet, il est clair que
(a, bc) — (a, bc, ac), or
(bc, ac) = c X (a, b).
Théorème IV. — Lorsque a et b sont premiers entre eux, tout commun diviseur de a et bc est aussi commun diviseur de a et c.
Il suffit évidemment de montrer que
(a, bc) = (a, c), II 18
mais cela est évident d’après le lemme précédent, puisque (a, b)=1 par hypothèse. ;
On déduit de ce théorème les conséquences suivantes: 1° Sicest aussi premier avec a, bc est premier avec a. Il est facile de généraliser ce résultat ainsi. Les nombres
l'AS HS MERE
Pl 8 Te étant tels que chaque nombre a, a/, ... est premier avec tous les nombres b, b',..., le produit aa/a'... est premier avec bb'b"..., a" est premier avec b". 20 Lorsque bc est divisible par a (a et b étant premiers entre eux), c est divisible par a.
14. On dit que plusieurs nombres a, b, c,...,l sont premiers entre eux lorsque deux quelconques d’entre eux le sont. On peut remplacer cette définition par la suivante qui lui est équivalente. Plusieurs nombres a, b,c,...,l sont premiers entre eux lorsque a est premier avec bc...l,baveccd...l,...,enfin k avec l.
Le p. p. c. m. des nombres 4, b, c, ..., 1, qui sont premiers entre eux, est égal à leur produit, et cette propriété est caractéristique. En effet, ayant
[a,b,c,...,1|=abc...l, il est impossible que deux de ces nombres aient un diviseur commun > 1. Car, si Ô divise a et b,
ab CEE C ...
3 Xcd...l est un commun multiple dea,b,c,..., 1.
Un nombre admettant les diviseurs a, b,c,...,l premiers entre eux,
est divisible par leur produit abc...l.
On peut dire encore: les nombres a, b,c,...,l sont premiers entre eux lorsque le (n — 1)" nombre réduit e, 1—1. En effet, e, , est le p. p. c. m. des nombres
(a,d),, (2,0, je." 69.
On a alors aussi
