ICI X |A }=||A

une matrice du même type que || A | et dont les éléments sont dk = Ci,1 U,k + Ci,2 Q2,k +... + CinAn,k tserr, 84.14 | hæ1,8,..., m4 Lorsque || C, || est encore du type n X n, nous écrirons 1C 1 XIA'I=IC IX ICI X IA, et il est facile de voir que ICIXICIXIANZ=EC!IX ICI X IA I.

Mais on ne peut pas permuter les deux matrices dans un produit, et si l’on considère un produit de plusieurs facteurs

on suppose toujours que toutes les matrices | C;|| sont du type n X n: seule la matrice || A|| peut être du type n X (m<+n), le produit est toujours du même type que || A ||.

Il est clair que, lorsque

A’ —= ICT X |A ||,

tout déterminant de | A’| est égal au déterminant correspondant de | À || multiplié par le déterminant | C|. Les déterminants correspondants de || A|| et || A’|| seront proportionnels et si, en particulier, le plus grand diviseur de | A| est —1, le plus grand diviseur de || A’|| sera la valeur absolue de |C|.

Dans le cas où le déterminant

Ci,1 C1,2 +++ Ci,n C2,1 2 ….. C2 C2, PL = EE + FT

Cn,1 Cn2 +... Cnn

nous désignerons par ||C||—1 la matrice GTuir 6)RTs: ++: SPRL) EY1,92s E€Y2,2y y €EYn,2»

AR A | sn hab : CrE ere EY1,n» € Y2,n) …., EYn,n)

rix étant le coefficient de c;x dans le déterminant | C |.

On voit que

| | ici xICi-=icr-txici=|

oo .

bi

et de la relation |A’ =ICI X IA ||, on peut conclure [AZ ICI? X I A I.

8. Soit | A|| la matrice formée par n solutions indépendantes, || B| la matrice formée par un système fondamental de solutions.

Puisque les solutions de || A || peuvent se déduire du système fondamental | B||, cela revient, avec notre nouvelle notation, à dire que

IAl= ICI X IR ||.

Il est clair que le plus grand diviseur de || A || est =+|C|,et, dans le cas |C|—=+1, || A || est évidemment aussi un système fondamental de solutions, car