IBI=| CI! X |A

Si l’on considère plusieurs systèmes de x solutions indépendantes, ou de systèmes fondamentaux, les déterminants correspondants seront toujours proportionnels.

Théorème VI. -- Lorsque le plus grand diviseur de la matrice |B|| du type n X (m+n) est — 1, et que les déterminants d’une matrice | Al! du type n X (m + n) sont proportionnels aux déterminants correspondants de | B|, on a

toujours jAI=ICIxXIBI

et la matrice || C|| est unique.

En effet, on obtient pour déterminer c1, cie, ..., cin les équations

dir = Ci 0i,k + Ci dan +... + Cindnk) k=1,2,...,(m+n).

Un déterminant quelconque de la matrice complétée de ce système, tel que

bi,1 bo,1 CAN Gi,1 bi,2 Do, 2 «.. Ün,2 Gi,2 Din+1i Vanti +. Onn+1 Gin+1

est nul, car d’après la proportionnalité supposée entre les déterminants de | A| et de | B||, il est permis de remplacer partout b;4 par ax, à condition de diviser après par un certain nombre entier le facteur de proportionnalité.

Mais on obtient ainsi un déterminant avec deux colonnes identiques. Donc, d’après le théorème IV, il existe un système et un seul de valeurs c;1,Ci2,..., Cin qui satisfont à la question.

On voit qu’une matrice du type n X (m + n) dont les déterminants (non tous nuls) sont proportionnels aux déterminants de la matrice |B| formée avec un système fondamental (ou avec n solutions indépendantes) est nécessairement composée avec » solutions indépendantes.

Théorème VII. — Les déterminants d’une matrice formée par n solutions indépendantes, du type n X (m + n), sont proportionnels aux déterminants correspondants de la matrice du type m X (m—+n) du système indéterminé donné (1). En particulier, un déterminant d’un système fondamental de solutions est égal au déterminant correspondant du système (I), divisé par d.

Il suffira de faire voir que le théorème se trouve vérifié pour un système particulier de n solutions indépendantes. Un tel système peut se déduire des considérations du n° 3. Supposons que le déterminant A ne soit pas nul, alors on a le système suivant de n solutions indépendantes

Amis Amis °°) Ammtis — À, LPS PRES 0, Aim+2s Aom+2s 1 Amm+2; NT TS : RAS 0,

Ai,mtn) A2 m+n) ……, Am,m+n) 0, 0, 0, ….) — À,

En effet, ce sont là bien x solutions, car on a | form. (4) du n° 8]

di,1 A1,m+x + Gi,2 Aam+x +. : + Ai m Am m+k— Ai,m+kA = 0.

Ces solutions sont indépendantes, car l’un des déterminants est (— A)".

Et si l’on considère maintenant les déterminants de cette matrice qui correspondent aux mn + 1 déterminants que nous avons considérés dans le n° 3, on reconnaît immédiatement qu'ils n’en diffèrent que par le facteur (— 1)" A"-—1, et cette proportionnalité s'étend aisément aux autres déterminants.

Plus généralement, on peut obtenir n solutions indépendantes ainsi. Soit

O1,1 +. Aim+n | An, 1 Am,m+n

Ci,1 Ci,m+n

Cn,1 .. Cnm+n

Puisque tous les déterminants de la matrice donnée ne sont pas nuls, on pourra choisir les nombres c;,, de manière que D ne soit pas nul. Désignant alors par C;: le coefficient de c;; dans D, il est clair que l’on a le système suivant de » solutions

SN MRIR : MURS

Cn,1 CRC. Cnm+n et, d'après un théorème connu, un déterminant quelconque de cette matrice est égal au déterminant correspondant de la matrice || a; x | multiplié par D—1.

9. Nous allons résoudre maintenant le problème suivant. Étant donnée une matrice I A |}, du type n X (m + n), dont d est le plus grand diviseur, trouver toutes les solutions de l'équation lAI=ICI x BI,

le déterminant | C} étant + d. Il est clair que le plus grand diviseur de

|B|| est 1, et si l’on a trouvé une matrice dont les déterminants sont proportionnels à ceux de | A | et dont le plus grand diviseur est —1, on pourra la prendre pour ||B||; la matrice | C|| s’en déduit d’après le théorème VI.

On peut obtenir une telle matrice || B|| en considérant le système indéterminé dont la matrice est | A . On cherchera m solutions indépendantes formant une matrice || A’}. Ensuite, on cherche un système fondamental de solutions du système indéterminé dont la matrice est | A’. La matrice formée par ce système fondamental satisfait evidemment aux conditions.

Mais voici une autre méthode qui sera préférable ordinairement. Divisons d’abord la première ligne horizontale de || A | par le plus

grand commun diviseur des nombres qu’elle renferme, on aura ainsi la matrice

bi, Vis,” ..., Dinan, 2,1, 2,92, ..., O2m+n;

ds Us ton dés-ret .

An, An? +.+3 Anm+n.

Soit maintenant d, le plus grand commun diviseur de la matrice formée avec les deux premières lignes. Je dis que l’on pourra déterminer un nombre x satisfaisant aux congruences

x Di, i —= 0, i (mod d) ; i=1,2,...mLn.

C’est ce qui résulte du théorème V. En retranchant donc de la seconde ligne, la première multipliée par x, elle deviendra divisible par d, et, après la division, on aura une matrice

dt, “Dia, 1) brute, bo 1, Da, “.. Do, m+n ; 8,1, (3,2, ..., sm+n)

et le plus grand diviseur de la matrice des deux premières lignes est 5 À Soit d, le plus grand diviseur de la matrice des trois premières lignes, les congruences À b1,i + Yda, = Qi (mod de), i—=1,2,...,m+n)

admettent encore une solution, d’après le théorème V. En retranchant de la troisième ligne la première multipliée par x et la seconde ligne multipliée par y, on pourra diviser par d, et, dans la matrice obtenue

D11, Dis, +. Dimbe, Da,1, Das, ..., Damtn, Ds,1, sa, ..., Dsm+n;, 4,1, 4,2, ..., imtn:;

le plus grand diviseur de la matrice partielle formée par les trois premières lignes est — 1. Il est clair que l’on peut continuer ainsi, on finira par trouver une matrice

dont le plus grand diviseur est — 1, et il est clair que ses déterminants seront proportionnels à ceux de |! A |. On peut remarquer que ce procédé donne, dans le cas m — 0, une nouvelle méthode pour la construction d’un déterminant = + 1.

Ayant ainsi obtenu une solution particulière IA[=IC|IX1B 1, il est facile de voir que la solution la plus générale sera comprise dans les formules AZ] C1 X || Bol}; où lB|=IE I X 8 || Co l= ICI X ETS, |E | étant une matrice quelconque du type » X n dont le déterminant est + 1.

Lorsque || A | est la matrice de n solutions indépendantes du système (1), la matrice | B|| sera composée d’un système fondamental de solutions.