FE CR

5 1 de 0 ans 0

a3, 1 as, 2 a3,3 Le. 5m +n

Am, 1 An, 2 Am, 3 ss. Om, m + n d, étant le p. g. c. d. de 05,2, @,3,..., @im+n. En continuant ainsi, on sera amené finalement à une matrice de la forme

d, 0 Cn 0 0 0 .. 0

CR US 0 0 (A) . . . . { Ba,1 Ba,2 68 0 0 .… 0

Pm, 1 Pm, 2 …. Pm, m — 1 dur : 0

Il est clair qu’on aura d—d, d, d,... dm, et si les nouvelles incon-

nues sont Yÿ, Yo» :.., Ym+n, la Solution la plus générale s'obtient en posant

h = Ye = Y3—= = Ym= O0, tandis Que Ym+1, Ym+2::-., Ymsn peuvent prerdre toutes les valeurs

entières de — oo à + ».

On peut simplifier encore le tableau (A). En remplaçant d’abord y, par % — cy1, il est clair qu’on peut faire en sorte que le coefficient f2: devient positif, mais inférieur à d. En remplaçant ensuite y, par Ya — CY — C' Yo, On peut assujettir les coefficients 3,1, 83, aux limitations

OZ Ps < ds, OZ BP3,9 < ds.

On voit, en définitive, qu'il existe toujours une substitution de déterminant + 1, tel que le système transformé a une matrice de la forme particulière (A), où les coefficients d,, d,.. , d sont positifs et

OZ Pix < di [k=1,2,...,(i—1)]

(voir Hermite, Journal de Crelle, t. 41, p. 192). On verra facilement que cette forme réduite (A) est unique. La nature invariantive des coefficients du tableau (A) s'aperçoit aisément. D'abord il est clair que d; est la plus petite valeur (sauf 0) que peut avoir l'expression

Qi,1 Li + Qi,2 Le +... + GimynTm+n) Li, Toy: Emæn Étant liés par les relations

@x,1 Li + @x,2%2 +... + Axmin min =, k=1,2,3,...,(i—1).

Ensuite P, est la plus petite valeur que peut avoir la fonction linéaire 1% +... + dminTm+n Ty, Toy, Em+n Étant liés par la relation 1% +... +aimtrnTmrn = di.

Ensuite B:1, B:2 sont les plus petites valeurs de d3,1 Xi …. ee A3,m+nTm+n) Li, Toy... Xm+n étant assujettis, dans le premier cas, aux relations @,1 Li +... + Gi,m+nEm+n = Q2,1 1 +... + AamirnTmitn = P21

et, dans le second cas, aux relations

di,1 1 + … En ,m+n Tm+n — 0, Q2,1 Li +... + G,m4n Cm+n = de, ainsi de suite.