Considérons maintenant le système non homogène
(I) . . . . at +Haissto+ .. +üimtntmin = Ui Mari, 2... 0)
Soit d le plus grand diviseur de la matrice de ce système, d’ le plus grand diviseur de la matrice complétée, il est clair que d’ divise d. Mais, en éliminant m— 1 des inconnues, on reconnaît que tout déterminant de la matrice complétée, qui n’est pas en même temps un déterminant de la matrice non complétée, doit être divisible par d. Pour que le système (III) admette des solutions, il est donc nécessaire que l'on ait dd’. Mais cette condition est aussi suffisante.
Théorème VIII. — Pour que le système (III) admette des solutions, il faut et il suffit que le plus grand diviseur de la matrice du système soit égal au plus grand diviseur de la matrice complétée.
En effet, dire que le système (IT) admet une solution, c’est la même chose que de dire que le système homogène
Ui Lo + Qi1 Li + A2 Lo +... + aimtnTmin —=0 admet une solution où x, ——1. Or la solution générale du système homogène est
Li = Po,i to + Biiti +... + Pnitn, i=0,1,2,...,(m+n).
En supposant d— d’ les déterminants de la matrice des | B,4|| qui renferment les coefficients B0,0, 1,0, ..., Po Sont égaux aux déterminants correspondants de la matrice du système homogène, divisés par d. Mais ces déterminants sont simplement des déterminants du système (III), et en les divisant par d on obtient des nombres dont le p. g. c. d. est —1. Il est clair par là que le p. g. c. d. de 86,0, B1,0,..., Bn,0 est aussi — 1, et, par conséquent, on peut donner à #,,4,,:..,{m des valeurs telles que x, = — 1. On reconnaîtrait aussi facilement la vérité
de ce théorème à l’aide de la méthode de réduction du n° 4. On voit, d’après ce théorème, que si l’on considère l’ensemble des solutions du
système homogène (1), la plus petite valeur de x, (sauf 0) est dk étant le plus grand diviseur de la matrice obtenue en supprimant la
dx kième colonne. Cette valeur 7° est donc, dans tout système fondamental
de solutions Bois Bis +.., Pima+n, | a le P-£g.c. d. de Bi,x; B2,x; es Bn, k« Il est clair que pour obtenir la solution la plus générale du système non homogène (III), il suffit d'ajouter à une solution particulière la solution la plus générale du système homogène ([).
12. Si le système (III) admet une solution pour certaines valeurs de WU ,-:, Um, il en sera de même encore si l’on remplace ces nombres par Di, Do, Um OÙ
Ui = Vi (mod d), CE NS OS
La possibilité ou l’impossibilité du système ne dépend donc que des résidus de %,,%2,..., Um, par rapport à d. Le nombre total de ces systèmes de résidus est de d”, mais pour d"—1 de ces systèmes seulement, les équations (IIT) admettent une solution. Pour le reconnaître, il suffit de recourir à la transformation du n° 10, qui donne un système équivalent de la forme
WU = d Y; Ua = B2,1, Yi + daY2, Uz = Bs,1 Y1 + B3,2 Ye De
Um = Pm,1 Y1 + Bm,2 Yo +. A di do... dm = d.
Il est clair d’abord que w, ne peut avoir que & valeurs par rapport à |
au module d. À chacune de ces valeurs de , correspond une valeur
/ e / . , . d déterminée de y, et ensuite évidemment —- valeurs de «, par rapport
de
au module d. À chaque système de valeurs de , et u, correspondent
ensuite des valeurs déterminées de y, et y, et ensuite — valeurs de w,
ds par rapport au module d, etc. Le nombre total des systèmes de résidus de 4,,%,..., Um, par rapport au module d, est donc HOVEA qui 2 : C. Q. F. D.
Parmi les valeurs admissibles pour u; figure toujours la valeur #;=0, et si l’on se donne d’avance |
les ux+1,...,Um ne peuvent plus représenter que d"—* systèmes de résidus par rapport au module 4. Mais, en raisonnant comme tout à l'heure, on voit que, parmi ces systèmes, il n’y en a que
ou: ne dx+1, dx+2,..., Am DS re | pour lesquels le système (III) admet des solutions. Il est clair que d, d,...dx est ici le plus grand diviseur de la matrice des k premières des équations (IT).
13. Ces propositions ont lieu encore dans le cas n — 0, lorsque le nombre des équations est égal au nombre des inconnues, et nous allons en faire une application dans un cas de cette nature.
Prenons un système de m? nombres entiers
Gi, k (, kz 9 ,::6im), dont le déterminant A—=|a;x| est positif > O.
Si Pon considère les équations A A A
le déterminant est A”-—1, et, d’après ce qu’on vient de voir, il y a Am —1? systèmes de résidus w; par rapport au module A"-1 pour lesquels
le système (A) admet une solution entière. Mais la solution de ce système est donnée par les formules | Ai Qi di + di ue +... + Ami Um) él, D «sin
On voit donc que si le système a une solution entière pour un système de valeurs de w,, %,..., Um, il en aura encore une en remplaçant u; par v:=u:; (mod A). Soit x le nombre des systèmes de résidus des uw; par rapport au module A, pour lesquels les équations (A) admettent une solution, un tel système en engendrera évidemment A”(*-—2 par rapport au module A"-1; donc
RC AMOR DES AGEN k= À.
Il est clair, du reste, que ce nombre 4 est simplement le nombré des
solutions des congruences
Qi Wi + doi ue +... Lamiüm—0 (mod A), et, d’après un théorème que nous rencontrerons plus loin, on peut
conclure de là aussi cette valeur 4 — A.
Ce résultat peut s’énoncer ainsi:
Théorème IX. — Il y a exactement A systèmes de RON CE entiers Li, Toy +. Em QUI Satisfont aux inégalités A JA Sr + Marbo.s org roesil = 1,2, Ee : -
Dans les cas m—2,m—3, ce théorème admet une interprétation géométrique très simple. Considérons dans l’espace trois axes rectangulaires OX, OY, OZ et le réseau de tous les points dont les trois coordonnées x, y, z sont des nombres entiers. Soient
À (dis Yir 2) B(%o; Y2, 22); C(xs, Ys, 23) trois points du réseau ; nous supposerons que
Li Y1 À A—|% Y2 L3 Y3
soit différent de zéro et positif. Alors A est le volume d’un parallélé-
pipède dont trois arêtes sont OA,O0B,O0C. Soient O,, A,,B,, C, les sommets du parallélépipède opposés à O, A, B, C. L'équation de la face O BC est
JA A 7 cite Se Et ttes 20, et l'équation de la face opposée 0, B, C, passant par le sommet O, est 0 A ext v+sez = A.
Les trois inégalités 2 A ose x+ iv + ie Da, " Bu DIE HSE RS ù " ù A
ose x+s v+$e He A
expriment donc que le point X, Y, Z est à l’intérieur du MN PP ou sur l’une des faces passant par O, mais non sur une des faces passant par O,. Le théorème IX exprime donc qu'il y a exactement A points du réseau qui satisfont à ces conditions. Une légère attention suffit pour reconnaître que, dans ce dénombrement, il ne faut compter qu’un des huit sommets de parallélépipède : c’est le sommet O. Quant aux points sur les arêtes (mais qui ne sont pas des sommets), il ne faut compter que les points qui sont sur les trois arêtes passant par O. Enfin, pour les points sur les faces (mais non sur une arête), il ne faut compter que ceux qui sont sur les trois faces passant par O, mais non ceux qui sont sur les trois autres faces.
Il est clair qu’on obtiendrait le même nombre A, en comptant tous les points sur les faces, arêtes, sommets, si l’on adopte cette règle de compter un sommet pour +, un point sur une arête pour }, un point sur une face pour 4.
Il serait extrêmement facile de démontrer directement ce résultat en prolongeant les arêtes O A, OB, OC jusqu’en A’, B’, C’, de telle manière que
OA'=k.OA, OB'=#4.0B, OC'=#%k.0c,
k étant un entier, et en considérant alors le parallélépipède avec les arêtes O A’, OB', OC’. Le rapport des volumes des deux parallélépipèdes est k, et l’on reconnaît aussi que le rapport des nombres des points du réseau à l’intérieur des deux parallélépipèdes (comptés d’après la règle indiquée) est aussi exactement X5. Or, d’après la définition même du volume, le rapport du volume et du nombre des points à l’intérieur du parallélépipède O A'B/C’ doit tendre vers 1 pour =. Mais puisque ce rapport ne varie pas, il est toujours —1.
On peut se placer à un point de vue un peu différent. Considérons dans l’espace le réseau des points dont les coordonnées sont des mul-
tiples de +, k étant un nombre entier. Le volume d’une certaine
partie de l'espèce peut être défini alors (d’après Lejeune-Dirichlet) comme la limite du rapport M :
pour 4 — w, M étant le nombre des points du réseau qui appartiennent à la partie de l’espace que l’on considère. Adoptant cette définition de volume, on peut conclure directement du théorème IX que le volume du parallélépipède O ABC est exprimé par le déterminant A.
On comprendra maintenant que M. Smyth a pu déduire de ces considérations une démonstration arithmétique de la formule de transformation des intégrales multiples. s
Solutions de quelques problèmes sur les matrices.
14 Étant donnée une matrice As Ag5 3 An+1 ou | À ||
du type 1 X (n +1), dont d est le plus grand diviseur, nous avons vu (Chap. II, 22) qu’on peut trouver toujours une matrice il, 2er nn D D de A Fe ner 7 du type n(n + 1), telle que le déterminant e,
ee B
Proposons-nous maintenant de trouver la solution la plus générale de ce problème. Il est clair, en divisant tous les éléments de || A || par d, qu’on peut supposer d —1. Cela étant, si l’on a &
| C || étant une solution quelconque, nous savons, par le théorème VI, qu’il existe toujours une matrice || E|| du type (n + 1) X (n + 1) (et une seule), telle que
1 . . é . . . . . = E , (1) lol | ixe où || E|| = + 1. Mais il est clair que la matrice ||E|| doit avoir ici la forme particulière
P1 1 1,2 . Ein
Pn En,1 En2 ... Enn
Pis Das... Pn Étant arbitraires et |e,x|—+ 1. Avec cette expression de ||E||, la formule (1) renferme donc toutes les solutions du problème et chaque solution une seule fois. On peut mettre cette solution sous une autre forme en remarquant que la matrice ||E|| peut se mettre sous la forme
à : &æ 1 0 0 €1,1 Ei,n xX||æ 0 1 o ||,
o'erttess| ar Le
Qi» ds--., Qn étant des nombres qui peuvent avoir des valeurs arbitraires. En substituant cette expression dans la formule (1), on obtient sans difficulté la matrice la plus générale ||C|| qui satisfait au problème, sous la forme
HCI=lesxl X | Dix + gi ax ||,
1B}||=1||6:x|| étant une solution particulière.
