QU£ST10^ SUR LA FIGURE -VISIBUE

uue seule et même imprêseioa suggère à la fois la couleur et la figure visibles; et dans le second ^ une seule et même impression suggère à la fois la dureté, le chaud ou le froid, et la figure réelle.

Nous mettrons fin à cette section , par une autre question sur le même sujet. Puisque la figure visible de$ corps est un objet réel et extérieur pour la vue, comme la figure tangible pour le toudier^ d où vient qu'il est si difficile de Élire attention à la première, et si aisé de faire attention à la seconde? Il est certain que l'une se présente beaucoup ,plus fréquemment à l'œil que l'atitre ne se présente au toucher , que celle-là est Un objet ausjsi distinct et aussi déterminé que celle-ci, et qu'elles semblent par leur nature se prêter avec la naême facilité à l'oJjservation ; cependant on a si peu fait attention à la figure visible , qu'elle n'a jamais eu de nom dans aucune langue, jusqu'à ce que Berkeley lui eût donné celui dont nous nous sommes servi, à son exemple, pour la distinguer de la figure réelle qui est l'objet du toucher.

La difficulté de remarquer la figurcvisible des corps , et ' d'en faire l'objet de notre pensée, est si semblable à celle que nous éprouvons à remarquer quelques-unes de nos sensations^ que nous pouvons, selon toute apparence , la rapporter à la même cause. La nature a voulu que la figure visible fût un simple signe de la figure et de la situation réelle des corps, et £lle nous a enseigné à Tenvisagar ainsi. De là vient qi;^ l'esprit la néglige et passe rapidement aux choses dont elle est le signe. Il est aussi peu naturel à l'esprit de s'arrêter à la figure visible et d'y fixer son attention, qu'il l'est à un corps sphérique de s'arrêter sur un plan incliné; un principe intérieur le porte en avant et le fait passer outre, et ce principe ne peut être halaacé que par une force contraire.

l84 ' CHAPITRE VI.— SKCTIOl» Vnt.

Il y a plusieurs autres choses extérieures dont la nature n'a voulu faire que des signes, et nous trouvons qu'elles ont toutes cela de commun ^ que Tesprit est incliné à les négliger^ et à fixer exclusivement son attention sur les objets qu'elles désignent. Ainsi , par exemple, certaines modifications du visage sont les signes naturels de la disposition présente de l'esprit; tout homme entend le sens de ces sign^ ; mais il n'y en a pas un sur mille, qui y fesse attention et qui puisse en rien dire; vous verrez même très-souvent d'habiles physionomistes igno^ rer complètement les proportions du visage^ et dans l'impuissance'de dessiner ou de décrire l'expression d'une seule passion.

Il n'en sera pas de même d'un excellent peintre pu d'un habile sculpteur; il vous dira non-seulement quelles sent les proportions qui forment, un beau visage, mais encore toutes les altérations qu'y produit chaque passion. Cette connaissance est un des principaux mystères de son art; il faut de l'attention, du travail, et un génie heureux pour l'acquérir. Cependant lorsque le peintre met son art en pratique et qu'il exprime habilement une passion par les signes qui lui sont propres , chacun entend ces signes du premier coup^ sans art et sans réflexion.

Ce que nous venons de dire de la peinture s'applique à tous les beaux a^rts ; toute leur difficulté consiste à remarquer et à étudier ces signes naturels , dont chaque homme entend, sans le moindre travail, la signification.

Nous passons du signe à l'objet signifié avec facilité et par un mouvement naturel , mais nous revenons difficilement sur nos pas , et ce n'est qu'avec beaucoup de peine et d'effort , que nous repassons de l'objet sigqifié au signe. La figure visible nous ayant donc été donnée par la nature comme un signe, quand elle se montre, nous passons

QUESTIONS SUR LA. FIGURE VISIBLE. l85

immédiatement à la chose signifiée, et nous n'en- revenons pas aisément, pour donner notre attention au signe lui-même.

Ce qui' montre clairement combien nous avons peu de disposition à fixer notre attention sur la figure et l'étendue visible 9 r'est que, bien que le raisonnement mathématique ne leur fût pas moins applicable qu*à la figure et à l'étendue tactiles ^ cependant elles ont entièrement échappe à Tobservation des mathématiciens. Depuis plus de deux mille ans^ on a étudié dans tous les sens et sous toutes leurs faces la figure et l'étendue qui sont les objets du toucher, et il en est résulté une belle et vaste science; et cependant nous ne trouvons pas une seule proposition découverte sur la figure et l'étendue qui sont les objets immédiats de la vue.

Lorsqu'un géomètre tire un diagramme avec l'exactitude là plus parfaite , lorsqu'il tient l'oeil attaché sur cette figure , et qu'il fait de longs raisonnements pour démon- . trer les relations que les difFérenies parties de cette figure ont entre elles, il ne fait pas réflexion que la figure visible que son œil contemple n'est que la Représentation d'une figure tactile sur laquelle seule son attention est û^ée; il ne songe pas que ces deux figures ont réellement des propriétés différentes, et que ce qu'il démontre être vrai de l'une ne l'est en aucune façon de l'autre.

Cette assertion pourra sembler un paradoxe, mémeau^ mathématiciens; et avant que d'y consentir, ils exigeront peut-être que j'en fournisse la preuve. Je suis prêt à les sads&ire, car la chose n'est point difficile. J'espère que le lecteur ne sera pas fâché de voir ce point de doctrine approfondi, et qu'il entrera sans répugnance dans les considérations mathématiques suivantes , que nous appellerons la géométrie des visibles.

lU

SECTION IX

GiOlkl&TmiB DES VISIBLE*.

Dans cette nouvelle géométrie,' ia (définition du point^ celle de la ligne courbe et de la ligne droite, celle de l'angle obtus , de l'angle droit et de l'angle aigu , et celle du cercle, sont absolument les mêmes que dans la géométrie ordinaire. Le lecteur mathématicien sera aisément initié aux mystères de cette géométrie des visibles, s'il veut bien accorder quelque attention aux principes suivans , que nous avons tâché d'exprimer de la manière la plus intelligible , et de réduire à un petit nombre.

Premier principe.

En supposant Tœil placé au Centre d'une sphère , chaque grand cercle de cette spbère lui paraîtra une ligne droite; car la courbiu*e du cerclé étant perpendiculaire à l'o&il , il ne l'apercevra point * .

Par la même raison , quelque ligne que l'on tire dans le plan d'un grand cercle de la sphère, elle paraîtra toujours , droite , soit qu'elle le sojt ou ne le soit pas dans la réalité.

Second principe.

Toute ligne droite visible paraîtra coïncider avec qurf-

s Si Vcf il était immobile il ne t^mit jamais qu'une portitn de chaque gauià cercle de la sphère; il faut donc supposer qu*il est mobile, et qu'il peut, en tournant sur lui-même, i»arcourir la circonférence entière de ce cercle.

{Note de Véditeur.)

GÉOMÉTRIE DES VlMBtBS. t$J

que grand cercle de la sphère; et la ciroonfërence de ce grand cercle prolongée, même jusqu'à revenir au point de départ, paraîtra toujours um continuation de la même ligne droite visible, toutes ses parties ayant visiblement 1^ m^e direction.

En effet , r«il , n'apercevant la position des objets que relativement à lui-même et n'apercevant pas leur distance, verra dans la même pUoç vi^le les points qui auront la même position par rapport à lui, à quelque distance de lui que ces points se trouvent d'ailleurs situés. Maintenant, puisqu'un plan, passant au travers de l'œil et d'une ligne droite visible donnée, sera le plan de queU que grand cercle de la sphère, chaque point de la ligne droite visible aura la m^me position que quelque point du grand cercle. Donc ils auront Fun et l'autre la même position visible, et coïncideront pour Foeil. Donc aussi toute la circonférence du grand cercle , prolongée jusqit'au point où elle revient sur elle-même, paraîtra une continuation delà même ligne droite visible '.

« J'ai tnuiluil ex^ctem^Qti mais J'aimerais mieux ré4iger tout ce passage de la manière suivante :

Toute ligne droite visible paraîtra coïncider avec un arc d'un grand cercle de la sphère, et cet arc prolongé autant qu'on voudra et même jusqu'à former la circonférence tout entière du cercle, paraîtra toujours une continuation de la même ligna droite. En effet, l'œil n'apercevant la distance des objets que dans le plaB qui hii est parallèle et ne l'apercevant point dans le plan qui lui est perpendiculaire, tous les points qui auront la même position ^Ifms le plan parallèle ^ui paraîtront coïncidir, quelle que soit d'ajlteurs la distance qui les sépare dans le plan pq'pendiculaiift. O, puisque le plan passant k travers l'oeil et une ligne droite visible donnée, se t^cmfond avec le plan d'un des grands cercles <le la t§k^9 abaque ppÎQt fie la figi^e droite yi%i^le m cpnfondra visiblement avee quelque point de la circonférence du g7>ând cerc|e. Dope la Hgne droite coïnci* dera toujours avec un arc de cette circonférence, et tout prolongement de cet arc, décrivît-il la circonférence entière, paraîtra la continuât ionJi^de la ligncf droite. {Noie (U l'éditeur.)

l88 CHAPITRE VI.

SECTIOïf IX.

Troisième principe.

Il suit de là que toute ligne droite visible , prolongée autant qu'elle peut l'être dans sa direction visiblement droite, coïncidera avec un grand cercle de la sphère au centre de laquelle l'œil est^placé.

Quatrième principe.

Il suit encore de là que l'angle visible, formé par deux lignes droites visibles , est égal à l'angle sphérique formé par les deux grands cercles qui coïncident avec ces lignes visibles* Car, puisque les lignes visibles paraissent coïncider avec les grands cercles, l'angle visible formé par les lignes doit être égal à l'angle visible formé par les cercles. Mais l'angle visible formé par les deux grands cercles, lorsqu'ils sont vus du centre, est de la même graur deur que l'angle sphérique qu'ils comprennent réellement^ , ainsi que le savent tous les mathématiciens. Donc l'anglç visible, formé par deux lignes droites visibles, quelles qu'elles soient, est égal à' l'angle sphérique formé par les deux grands cercles de la sphère avec lesquels elles coïn^ cident.

Cinquième principe.

Il est démontré par ce qui précède que chaque trianr gle visiblement rectiligne coïncidera dans tous ses points avec quelque triangle sphérique. ^

Les cotés de l'un paraîtront égaux aux côtés de l'autre, et les angles de l'un égaux aux anjgles de l'autre, chacun à chacun ; et par conséquent l'un des triangles paraîtra égal à l'autre; eh un mot, ils paraîtront un seul et même triangle à l'œil , et auront pour lui les mêmes propriétés

GKOMÉTRIE DES VISIBLES. 189

mathématiques. Les propriétés des/ triangles rectilignes visibles De sont donc point les mêmes que celles des triangles plans , mais elles sont les mêmes que celles des triangles sphériques.

, Sixième principe.

Chaque petit cercle de la sphère paraîtra un cercle' à l'œil placé au centre de ladite sphère , et tout cercle visible paraîtra coïncider avec Tun de ces petits cercles.

Septième principe.

De plus, la surface totale de la sphère représentera tout l'espace visible. Car, puisque chaque point visible coïncide avec quelque point de la surface de la sphère, et qu'il occupe la même place visible, il s'ensuit nécessairement que tous les points de la surface sphérique pris ensemble représenteront tous les points visibles possibles , c'est-à-dire tout l'espace visible.

Huitième et dernier principe.

Il suit immédiatement du principe précédent, que toute figui^e visible sera représentée par la portion de la surface de la sphère, sur laquelle l'œil peut en faire la projection du centre où il est placé; et que toute figure visible aura le même rapport avec le tot^l de l'espace visible, que la portion de la surface sphérique qui la représente avec la surface sphérique tout entière.

J'espère que le lecteui/' mathématicien comprendra aisément tous ces principes , et qu'il concevra avec la même facilité que les propositions suivantes concernant la fi-

igO CHàFITEE Vl.*-SEC5TION IX.

gtire et l'e^^ce visibles, qu'oa ne lui donne cependant que comme un échantillon , peuvent étrcr mathématiquement démontrées d'après les mêmes principes, et qu'elles ne sont pas moins vraies et moins évidentes que les propositions d'Euclide sur les figures tactiles.

Première proposition.

Toute ligne droite visible, stifBsamment pt'olongée, reviendra se rejoindre elle-même.

Seconde proposition.

Une ligne droite, prolongée jusqu'à ce quelle se rejoigne, est la plus longue possible, et toutes les autres ligues droites ont avec elle un rapport fini.

Troisième proposition.

Une ligne droite, ramenée par le prolongement à son point de départ, coupe tout l'espace visible en deux portions égales, séparées par cette ligne droite.

Quatrième proposition.

Le total de l'espace visible a un rapport fini avec chacune de ses parties.

Cinquième proposition.

Deux lignes droites prolongées se rencontreront toujours en deux points, où elles se couperont mutuellement.

Sixième proposition.

Si deux lignes sont parallèles, c'est-à-dire également

GEOJfflSTRlE DES ViSIBtKS. IQl

distantes dans tous les points, elles ne peuvent être droites toutes les deux.

Septième proposition.

Une ligne droite étant donnée, on peut trouver un point, qui soit à la même distance de tous les points de cette ligne droite donnée.

Huitième proposition.

Un cercle peut être parallèle à une ligne droite, c'està-dire qu'il peut en être également distant dans tous ses points. ,

Neuvième proposition .

Des triangles rectilignes qui sont similaires sont aussi égaux.

Dia^ième proposition^

I^s trois angles d'un triangle rectiligne, pris ensemble, sont plus grands que deux angles droits.

Onzième propositions

Les angles d'un triangle peuvent être tous des angles droits ou des angles obtus.

Douzième proposition.

Des cercles inégaux ne sont pas entre eux comme les carrés de leurs diamètres ; ni leurs circonférences proportionnées à leurs diamètres.

19^ CHAPITRE VI. SHCTIOrr IX.

Nou& BOUS bocnoas à ce léger échantilion de la géométrie d^s visibles. Il suffit , pour donner une idée claire et disëncte de la figure et de l'étendue telles que la vision les présente à Tesprit, et pour mettre en évidence la vérité de tout ce qui a été dit ci-dessus. Il en résulte particulièrement, que les figures. et Tétendue qui sont les objets immédiats de la vue, ne sont ni les figures, ni l'étendue sur lesquelles opère la géométrie ordinaire; que le géomètre , tandis qtf il contemple son diagramme et qu'il démontre une proposition, a une figure présente à soùœil qui n'est que le signe et que la représentation de la figure tangible ; qu'il ne donne point la moindre attention à la première, et qu'il s'attache ^u contraire entièrement à la seconde ; enfin , que ces deux figures ont des propriétés différentes y et que ce qu'il démontre de Tune ne peut pas s'appliquer à l'autre.

U importe cependant de remarquer que, comme une petite partie d'une surface sphérique ne diHere pas sensi- ' blement d'une surface plane, de même une petite partie de l'étendue visible diffère fort peu de l'étendue en longueur et en largeur saisie pai^ le toucher. U faut encore observer que l'œil humain est tellement conformé, qu'un objet vu distinctement tout entier d'une seule vue ne peut çccuper qu'une petite partie de l'espace visible; car, nous ne voyons jamais bien distinctement ce qui est à une distance considérable de l'axe de l'œil; par conséquent si nous voulons voir un grand objet d'une seule vue , l'œil doit être à une assez grande distance pour que l'objet n'occupe qu'une petite partie de l'espace visible.

Ces deux observations prouvent que les figures planes aperçues d'une seule- vue, lorsque leur plan est droit et sans obliquité par rapport à Tœil , ne diffèrent que fort peu des figures visibles qu'elles présentent à l'œil. Les

. Digitiz-edby VjOOQIC

GIÉp^ÉTRlE DES VISIBLES. IÇ)3,

différentes lignes, ^as la figure tactile, ont à peu de clîosè jMrès la même proportion entre elles, que dans la figure visible; et les angles de l'une spnt pai^illement à très peu de chose près , quoique non strictement et mathématiqueœent, égaux aux angles de l'autre. Ainsii, quoique nous ayons trouvé plusieurs exemples où les signes naturels n^avaient aucune ressemblance avec les objets qu'ils désignaient, le cas est différent pour la figure visible. Dans tous les cas, cette figure a autant de ressemblance avec l'objet qu'elle désigne, qu'en a un plan ou un profil avec la chose qu'il représente ; et dans quelques-uns , le signe et la chose signifiée out en tous les sens {a même figure et les mêmes proportions.

Si nous pouvions trouver un être qui n'eût que la vue seule en partage, sans autre sens extérieur, et qui fût capable de réfléchir et de raisonner sur, ce qu'il voit, les notions et les spéculations philosophiques de cet être nous seraient d'un grand secours dans la tâche difficile de distinguer les perceptions que nous acquérons purement par la vue, d'avec celles qui tirent Içur origine de nos autres sens. Admettons donc pour un moment l'existence d'un tel être, tout imaginaire qu'il soit, et essayons de décou** vrir quelles notions il aurait des objets visibles, et quelles conséquences il eu tirerait. Nous ne devons pas nous le représenter opérant comme nous, ni naturellement disposé, comme nous le sommes, à considérer l'apparence visible comme un signe de quelque autre chose : elle n'est point un signe pour lui , parce qu elle ne peut rien lui apprendre , ni rien lui désigner ; nous devons le supposer, au contraire, porté en vertu de sa constitution naturelle à faire attention à l'étendue et à la figure visibles des corps V comme nous le sommes à donner toute la nôtre h l'étendue et à la figure tangibles.