t- COR* ani - K

;Vs~ -^.

*^jii* aiii - K ï -^ coi* am .. iK'

«^in^am i iK'

SI 11^ ao» - ^ K H- * K )

* ?iînVam :j (K — iK)

Voieî donc* au poîut de vue où je me suis placé dans mes recherches sur l équation du cinquième degré, la résolution de ces équa lions spéciales du quatrième degré qui s^olTrenl dans la iKéoric lies formes cubiques à trois variables. Ces résultats, ainsi que je Fai dit plus haut, ouvrent la voie pour traiter d'une manière analogue l'équation générale, et parvenir a exprimer séparéuienl les nieines par des^ fonctions bien déterminées* Mai?;;, avant d'entrer dans cette recherche, qui exige des principes do ni je parlerai dans un autre article, je ferai encore une remartjue essentielle sur les formules précédentes. Elles dépendent du radical \/S, et il importe de bien saisir de quelle manière elles subsistent dans leur ensemble lorsque Ton cbange le signe de ce radical. Considérons eu particulier les formules (5); on reconnaît d'abord qu'en mettant — ^S au lieu de ^S, le module se change dans son complé- 111 eut. Or, on sait jiar la théorie île la transforuiatioii que le multiplicateur M, lorsipi'ou y lemplat e k par A'^ se cliange en — M. Nos formules restent donc les mêmes, pai*ce que les deux facteurs

EQUATION DU QUATRIÈME DEGHK. •?'

qui j enirent deviennent simultanément de signes opposés. Chacune des racines cependant ne reste pas la même lorsque l'on

change ainsi le module dans son complément, ou co en , et le

Tableau suivant, montrant de quelle manière elles s'échangent alors le< unes dans les autres, fera bien complètement saisir toutes les conséquences de l'ambiguïté inhérente au radical que nous avons employé :

sin* am - K

*>\n^ coaiii - K

Js

«in» am ^ »K' «in* roam - iK'

sin* am - i K' sin* coaiii - i\\'

>in* am ^ K sin* coani ^ K

sin*am \ (Kh-iK)

«in« coam .^ ( K -r- 1 K' >

sin* am :^ ( K — iK' )

sin* coam - ( K — i K' »

sin*am :J ( K — £ K')

sin* coam ^ ( K — /K')

siii«am ^ (K — iK')

siii* coam - ( K -f- / K' )

Les formules relatives aux racines A donnent lieu à des résultats entièrement semblables, et, quant aux formules (4)« je me bornerai a remarquer que, les deux modules

Vs»

el

♦ftant réciproques, elles sont identiques au fond avec les formules (5) et peuvent s'y ramener parla substitution de à o>. Je ne m'arrêterai pas non plus aux relations qui existent entre les racines de chacune des équations

et auxquelles conduisent aisément les expressions que nous avon> données. Seulement j'observerai que ces équations, comme celh'> Ae. la théorie des fonctions elliptiques que j'ai employées, n'app^rtiennenl pas au type d'irrationnalités le plus complexe de

l¥R£8 DE 01

:.Eâ HKRMITE.

réquatîon g*5nérale du qtifitrième deg^ré, Effectivenien*, s! l'oi forisidère à leur e^ard Ti^ujUion en V de Galois^j dont le degr disli ligue eL caractérise d^une juauière si précise ce cju*ou peul iqj[*çler les divers ordres d* ir rat ion fi alités , on ta trouve seules luetiL du douzièuïe de^re, Uiiidis que dans le cas gi*ueral elle esl uccessalremcnt du vingl-qualrième. Il existe donc pour ces r'qua-« tions des fonctîotis non symétriques, exprimables rationnellement par les cûenîcienls, et le type de ces fonctions est donné très simplement par le produit des cinq difTérences des racines. De là dé^, coulent, pour la théorie des fo tic tions elliptiques, d'iniportautc conséquences, se résumant dans ce fait : que Itf produit de denâ /onctions <5(tu) et ^}{oj) est le cube d'une nouvelle fonctioti également bien déterminée. Une formule depuis longtemps ol: te^ue par Jacobi [Fundameuttij § 36, équat. (4)] donnait déjà, îlj est vrai, la notion de cette nouvelle transcendante, mais sans conduire à aucune de ses propriétés^ que je vais indiquer succinctement en terniinanl celte Note. Et d*abord je la définirai par Téquation

en faisant touj* urs /y = <?'""*'*, de sorte que, relativement à Wj om obtienne une expression entièrement détenu i née. Gela posé, oui aura ces retalions qui se démontrent Immédiatemenl, savoir :

V^oici maintenant celles qui se rapportent aui substitutions de

la forme - — j—, a^ 6, c, d étant des nombres entiers assujettis à

la condition ad — 6c = i , et qu'il importait surtout d'obtenir» Dislin^iuant, iiinsi que je Taî déjà fait dans une circonslanee toute semblable j ces substitutions en six classes [t^oir ma Note sur Féquatioiî du cinquième degré ( ' )], et posant, pour abréger,

— -* ittft -^ «r -t-ifif — tià*ff

i ' ) Pa|c 8 de ce Valuine,

on aura