I. — Des déterminants

Considérons n -h i équations du premier degré à n -h i inconnues, dont les coefficients soient des quantités littérales, savoir :

ax -^ by ->rcz -+-...-+-Aa = K, a' X -\-b'y -^c'z -h...-»- A' a = K',

£,l/i>ar -4- b^n)jr | c'^n) ^ .

hn)u= K<«'.

Le dénominateur commun des valeurs des inconnues, qu'on enseigne à former en Algèbre, et qui dépend seulement des coefficients de ces inconnues, a reçu le nom de déterminant, et se désigne par la notation abrégée

din) lf{/t) çi/i» ^ ^ , y^(/i)

Ainsi, par exemple, pour deux équations à deux inconnues, ax -h by = K,

on écrira

a'x -h b'y = K', ab'^ba' =

Pour trois équations à trois inconnues

ax -^ by -^ cz = K, a X -¥■ b'y -\- c' z = K\ a'x-^b\y'^c'z= K\

on écrira de même

(3) ab'if-^ hc'a'-h ca'b'— cb'a'— ac b' — bu' c' =

abc a' b' c' a' b' cT

THÉORIE DBS POLYNOMES HOMOGENES. 4^7

Parmi les monômes qui entrent dans le déterminant (i) développé, on distingue celui qui sert à former tous les autres par des échanges de lettres, savoir : aV (f ^ . . ., A^'»^ On lui donne le nom de terme principal, et il est toujours affecté du signe -h. Ainsi aV et ab'd' sont respectivement les termes principaux des déterminants (2) et (3). Des diverses propriétés des déterminants qui découlent immédiatement de leur loi de formation, nous énoncerons celles-ci, qui seront utiles plus tard :

r* L'expression développée du déterminant (i) a la forme

Aa-i-B6-4-Cc-i-...-4-HA,

où A, B, C, . . ., H sont des quantités indépendantes de a, 6,

2" Un déterminant s'évanouit identiquement lorsque deux lignes horizontales ou deux colonnes verticales sont composées des mêmes termes. Ainsi, par exemple,

abc = ab — ab = o,

— aa — aa = o,

3** Un déterminant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes verticales par les lignes horizontales, de manière que le terme principal reste le même. Ainsi, par exemple,

= ab'^ ba'.

Les deux premières de ces propositions se trouvent démontrées dans les Traités de M. Lefébure de Fourcy et de M. Briot; nous laissons comme exercice à trouver la démonstration de la troisième. Mais une autre, qui recevra d'importantes applications, nous reste à établir; et nous allons d'abord la présenter dans le cas le plus simple.

Considérons à cet effet les deux fonctions linéaires

ax -h by, a'x-\- b'y,

et supposons qu'on y remplace x et y par ces expressions* elles deviendront respectivement

ou, pour abréger,