AG-B

est ce qu'on appelle V invariant de ce polynôme. Cette dénomination, proposée par M. Sylvester, célèbre géomètre anglais, se trouve justifiée par le théorème suivant :

Soit

la transformée du polynôme proposé par la substitution

je dis qu'on aura

c'est-à-dire que l' invariant se reproduira dans toute transformée^ multiplié par le carré du déterminant de la substitution.

En effet, effectuons la substitution considérée dans les deux membres de Téquation identique

et posons, pour abréger,

a(aX-^a'Y)-h6(pXH-?'Y) = />X-f-^ Y, a'(aX-+-a'Y)H-6'(pX-+-P'Y) = />'X-+-^'Y,

on en déduira

JUX»-h ailbXY -4- eY«=(//X -4- ^Y>«-H(/>'X-r ç'Y)«, et, par suite.

Mais, diaprés le théorème sur la multiplication des déterminants, on a

et il en résulte immédiatement, après avoir élevé les deux membres au carré, la relation qu'il s'agissait d'établir

X Db

Ub 8

Avant d'aller plus loin, donnons encore l'énoncé des théorèmes analogues pour les polynômes à trois indéterminées, afin de rendre plus facile la recherche des énoncés les plus généraux.

Soit, à cet effet,

/= Aj-*-!- A'7*-h A' ««-4- xWyz h- 2 B'^or -h aB'ar^, ce qu'on nommera l'invariant, sera le déterminant relatif aux trois

THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES.

fonctions linéaires

-/i= AarH-B>-hB'z,

-/;=B'x-+-By^X'z;

c'est-à-dire