AA'A'-4- 2BB'B'— AB«— A'B'»— A'B

et l'on aura le théorème suivant :

Soit

XX«-+- <.V Y«-h =VZ«-h -1 ilîi YZ -f- i \IJ>'ZX -4- 2 ilb'XY

la transformée déduite de f par la substitution

a: = aX-4-(x'Y-f-a'Z, >^ = ?X^P'Y-+-p'Z, 4! = yX-+-y'Y-+-y'Z,

l'invariant de cette transformée sera égal à V invariant de /, multiplié par le carré du déterminant de la substitution.

Ainsi on aura

clU l)b'

ilb'

a cl' ol"

Db

Ub' Db

Les applications que nous ferons plus tard de ces théorèmes en montreront toute l'importance, mais dès à présent nous allons en faire voir l'usage, en nous proposant de calculer l'invariant de cette forme particulière

Au lieu d'appliquer la formule (a), après avoir développé le carré de ax -f- ^j^-H y^, pour mettre en évidence les coefficients

des carrés et des rectangles des variables, on fera

ar = X, ^ = Y,

ax -+■ ^y -f- Y* = Z;

d'od résultera celte conséquence, que le polynôme proposé est la transformée de

(3) AX«-+--2BXY-hGY«H-Z«,

par la substitution précédente, dont le déterminant se réduit, comme on le reconnaît aisément, à y.

LMnvariant cherché sera donc celui du polynôme (3) multiplié par Y*î c'est-à-dire, en appliquant la formule (a), égal à