Y«(AC — B
La notion d'invariant bien comprise, passons à celle du polynôme adjoint, qu'il importe également d'établir.
Pour cela, nous considérerons encore le cas le plus simple des polynômes à deux indéterminées, /:= Aj:*-f- aBx/ -[- Cj^*, et nous rappellerons en premier lieu le théorème bien connu qui est exprimé par cette relation
Cela posé, cherchons ce que devient /, quand on y remplace x et y par les indéterminées Xq et^o, liées aux précédentes par les relations
B'n nommant cp le résultat cherché, qui sera un nouveau polynôme du second degré, aux indéterminées Xq et yo^ on aura ces Irois équations,
<p = xxo-hyyo,
entre lesquelles il s'agit d'éliminer x eiy. Pour cela, multiplions membre à membre successivement la première et la troisième, la
seconde et la troisième, il viendra ainsi
- ?/v = xoi^^o -^ rro ) ;
équations homogènes et du premier degré en x et y.
Le résultat de l'élimination de ces deux indéterminées s'obtiendra donc en égalant à zéro le déterminant relatif aux deux fonctions linéaires
- ?/r — ^0 ( a:Xo -h ^ Vo ),
de sorte que rs sera déterminé par cette équation :
9B — Xo^o ?^— rJ I ~"
Dans un instant il sera prouvé que ce déterminant contient le facteurs. Ainsi l'on arrive bien, après la suppression de ce facteur, à une équation linéaire; maiscequ*il importe tout d'abord de bien saisir, ce sont les propriétés du polynôme en Xq et yo^ déterminé par l'équation que nous venons d'obtenir.
Observons à cet effet qu'en posant
on aura
Le déterminant ci-dessus n'est donc autre chose que l'invariant de '}, considéré comme fonction de x et y. D'après cela, faisons dans ce polynôme la substitution quelconque
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et supposons alors que le polynôme /devienne XX«-h2\)bXY-^aY«,
il en résultera pour le polynôme ^ cette nouvelle forme
V = ïp(XX«H-aUbXY-4-eX«)-[(aa:o-l-pa7o)X-h((x'aroH-P>o)Y]«.
Cela posé, formons l'invariant de ^ et égalons-le à zéro; on reproduira ainsi Téquationdont dépend la quantités, car ces deux invariants sont égaux, à un facteur près; de là résulte ce théorème :
Le polynôme ç reste ins^ariable, si l'on y remplace les coefficients A, B, C, qui y entrent, respectivement par X^ ilS>, ©, pourvu qu^au lieu des indéterminées Xqj yo on mette en même
temps
axoH-Paro et a a-Q-h P'^o-
Revenons maintenant au déterminant
©B — aro^o ?C--^Î
pour établir, comme nous Tavons annoncé, qu'il contient ^ en facteur. A cet effet, considérons le polynôme suivant à trois indéterminées
y =^H-(jrj-0-^-Xro-H5<p)*,
qu'on trouvera aisément, en substituant la valeur de «i, se réduire à
Il résulte d*une remarque faite plus haut, que Tinvariant de ce polynôme y, c'est-à-dire le déterminant relatif au système des trois fonctions linéaires
^ Xjf' ^ 7->
;xki
est égal au produit de 9^ multiplié par Tinvariant du polynôme 'l. En développant les expressions des trois dérivées, on parvient ainsi à la relation
çA çB <pTo
