OB 9C
çA - jrj zB - Xo>>
THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES.
et, par suite, à celle-ci, après avoir divisé par ç*, A B aro
çA — jrj çB — jToro
Cette transformation de déterminants nous montre que le terme indépendant de 9, dans Téquation
?B — aro^o
doit disparaître de lui-même. Cela posé, soit pour un instant
cette équation pourra s'écrire
e(ïpA— j:J,®B— a^o^o, ?G— 7Î)=o, et Ton tirera, en développant,
^»e(A,B,C)— <p|e;a:î-i-eUoro-Hei^5j = o;
d^où enfin
0A3^î-H0B3?o.ro-t-ftcr; e(A, B, G)
C'est là le résultat définitif auquel nous voulions parvenir; et le polynôme en Xq et y^ qui se présente comme numérateur de f est ce que nous nommerons avec Gauss le polynôme adjoint de Ax^-\- 2Bxy -\-Cy^. Maintenant il ne nous reste plus, pour terminer ce sujet, qu'à donner quelques indications propres à faciliter aux élèves l'extension au cas général des raisonnements et des calculs précédents.
Soit, par exemple, le polynôme à trois indéterminées
/= Aar^H- A'^^-h Vz^-h 2Byz •+- iB'zx -+- ^B'xjr. En prenant pour point de départ la relation
il s'agira de trouver ce qu'il devient en substituant k x^ y, z les H. - II. 29
imiéterminées nouvelles
•=-/x, yo=-fy. ^0=-/..
Nommons <p le résultat cherché ; on sera conduit aux quatre équations
desquelles on déduira d'abord
- ?/Jr = ^0 ( J^^o -^- ^:>'o -
; ?/> = ^0 ( a:.ro H- ^7o -+- 55o ).
On observera ensuite qu'en posant elles deviennent simplement
et Ton en conclura que Téquation pour déterminer o s'obtiendra en égalant à zéro l'invariant du polynôme •}. D'ailleurs cet invariant, à savoir
<pB"— ToV ?V— ^J <pB — ^0-50
9 B' — J*o3o ?B — )'o-5o ?A' — -sj
sera susceptible de la transformation exprimée par l'équation suivante
\ B* B' xo B' A' B Y^ B B A' 5o
o A — xj ç B"— Xo Vo ç B' — 5oXft
o B' — Xo Vo ç A — V J ^ B — »\» 5o
©B* — 5oJ*« r^ "-*'•'*• r-^''~''î
THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGÈNES. ^bl
à laquelle on parviendra en cherchant rinvariant du polynôme à quatre indéterminées
X = i^H-Ca-Xo-h K^o-t-s«o-»-«pa)«.
Les choses ainsi préparées, en posant
on donnera à Téquation en '^ la forme suivante
6((pA — arj, oX'—yl, <pA'— zîS, ?B — ^o^o, ?B'— a-o«o* © B' — aroj'o ) = o.
Or, dans cette équation, les termes o' et cp*^ existeront seuls, et, après avoir développé, on en tirera
Cela posé, le numérateur de cette expression sera le polynôme adjoint de/, et o lui-même donnera lieu au théorème suivant :
Supposons qu'en faisant la substitution
j: = aX-ha'Y-ha'Z, ^=pX-Hp'Y-hP'Z, i; = YX^rY-^T'Z,
/se change en
F = ^t.X* -H vU' Y«-h vU'Z»-!- 2 1IK YZ -h a \\WZ\ -h a Ub'XY,
© restera invariable, si l'on y remplace les coefficients de f par ceux de F, et qu'on y mette en même temps, au lieu de x^^y^^ Zq, les fondions linéaires
En terminant, nous remarquerons que la forme explicite du polynôme adjoint de
Aa:* H- 9. B ay' -h Cy*
est
CxJ — 2Bjr„^o-+- A^J,
452 OEUVRES DK CHARLES HERIIITB.
et que la forme explicita du poljnome adjoint de
Aa:«-h A'^«H- \' z^ -h 2Byz -h iB' zx -h iB' xjr est
(A'A'-B«)a:J-h(A'A-B'«)^î-h(AA'— B'«)z5
-h2(B'B'— AB)^o-«oH-2(B''B — A'B')«oa?o-H2(BB'— A'B')a7oj^o.
Elles nous seront utiles dans les questions suivantes.
