III. — Applications à la géométrie analytique

La recherche des axes principaux dans les courbes du second degré dépend de ce problème.

Étant proposé le polynôme

/= AXîh-2BXYh-CY«,

déterminer les coejjlcients de la substitution

( J7 = a X -+- a' Y, ^'^ i^=pX-^p'Y,

et les quantités s, e', de manière qui on ait identiquement

(2) A Xî -+- 2 B XY -h G Y« = e jr»-h e>* et

(3) X«-+-Y»=ar«-+-^«.

Il s'agit, comme on voit, de trouver les valeurs de six quantités inconnues, e et e' d'une part, et de l'autre les coefficients de la substitution; et pour cela on a, en effet, six équations qui résultent de l'identification des termes semblables dans les relations (2) et (3). Mais nous éviterons comme il suit la considération de ce système compliqué d'équations.

Désignons par \ une quantité indéterminée; on aura

(4) /•-X(X«-hY«) = (e-X)ar«-h(e'-X)^t.

Cela fait, cherchons l'invariant du second membre.

L'invariant du polynôme (e — X)x^-}-(e' — ^)y^> en y considérant X e.\. y comme les indéterminées indépendantes, sera

TliéORIE DES POLYNOMES HOMOGÈNES. 4^3

(e — î^)(e' — î^) ; donc, si Ton fait la substitution (i), l'invariant du polynôme transformé sera

a OL

Maintenant, si on l'égale à celui du premier membre, on arrivera à la relation

Or^ il en résulte immédiatement que les deux quantités e et e' sont les racines de l'équation du second degré en X

Une autre conséquence à remarquer, c'est que, le coefficient de X* dans le premier membre étant l'unité, on a

Pour achever la solution, en regardant e et e' comme connus, on fera successivement, dans l'équation (4), X = e, X = e', et l'on en déduira les valeurs de x'^ et^^, de sorte que les fonctions linéaires aX-ha'Y, pX-hP'Y peuvent dès lors être regardées comme complètement déterminées.

Passons à la question analogue pour les surfaces du second ordre.

Le problème est alors :

Étant proposé un polynôme à trois indéterminées

/= AX«-t-A'Y*-+-A'Z«H-2BYZH-2B'ZX-hïB'XY,

déterminer les coefficients de la substitution

i a7-aX-ha'Y-+-a'Z,

)r = px^p'Y4-p'z,

( z = YX-f-Y'Y-hY'Z,

et les quantités e, e', e*^, de manière qu*on ait identiquement

Soit, comme précédemment, X une indéterminée, et déduisons de ces deux relations la suivante

(6) /•— X(X«-+-Yî-^Z«) = (e — X)j7«-+-(e'— X)7«-h(e'— X)^«.

Nous commencerons encore par chercher ^invariant du second membre. Observons, à cet effet, qu'en considérant x, y^ z comme les indéterminées indépendantes, l'invariant du polynôme

est simplement

d'où il résulte qu'en faisant la substitution (5), l'invariant du polynôme transformé sera

Maintenant, si on l'égale à celui du premier membre, on arrivera à la relation

Ainsi, les quantités £, s', e" sont les racines de l'équation du troisième degré en X

-f-aBB'B'-(A — X)B* — (A' — X)B'« — (A'— X)B'*=o,

et l'on obtient encore, comme précédemment, cette conséquence

THÉORIB DBS POLTNOMBS HOMOGÉNBS. 455

que le carré du déterminant

axa

a pour valeur Tunité, de sorte que Tinvariant du second membre de la relation (6) se réduit à

Il nous reste à déterminer les coefficients de la substitution (5), c'est à quoi nous parviendrons en égalant les polynômes adjoints des deux membres de la relation (6). Mais nous avons d'abord une observation importante à faire. De l'identité

résultent les six relations suivantes

/ a* -f- p* -+- Y* = I , (7) ^ a'i-Hp'«-4-Y'» = «.

a'a''-4-p'3'-hY'T'=o, a'a ^P'P-+-y'y =o, aa' -H PP' -h yy' = ®*

Or il s'ensuit, qu'étant proposé le système d'équations

on en lire

M = a J^o -I- a' Vo -h «• 5o.

tv = Y^o^-7>l•-^-ï'^o.

Substituons, en effet, ces valeurs dans les équations proposées, on les trouvera immédiatement identiques, en vertu des relations (7). En nous bornant, par exemple^ à faire la substitution dans la première équation

ata-r- !^v -h^iv = a^o,

on trouvera pour le premier membre

OU bien

a'o(a«-Hp«-f-Y')H-^o(aa'H-p?'H-YY')-hZo(a'aH-P'p-hT'T),

ce qui se réduit bien à Xq.

Cette remarque faite, passons à la recherche du poljnome adjoint du second membre de la relation (6). Pour cela nous aurons à eflTectuer la substitution suivante

|a(e — X)a?-+-P(6'— X)j^-l-Y (e'— X;z = a:©, a^(e-X)a:-4-p-(e'-X)j^-hY^(c''-X)z= «0,

dont les premiers membres sont les moitiés des dérivées du polynôme (e — X)j7^-|-(e' — ^)^*-h(e*' — ^)2^ prises par rapport aux indéterminées indépendantes X, Y, Z. Et, comme nous avons remarqué que rinvariantde ce polynôme est (e — À)(e' — ^)(e"' — ^)? * en nommant ^ le résultat de la substitution précédente, le polynôme adjoint sera, d'après la définition même, égal à

cpx(e-X)(€'-X)(e'-X).

Or, en représentant pour un instant par e/, Vj w les quantités (e — X)j:, (e' — X)j^, (£* — X)^, les équations (9) coïncideront avec les équations (8), ainsi, d'après la résolution qui a été effectuée de ces dernières, nous trouverons

u =(€ —\)x= olxq-^ ol'jtq -i- a «Oî

tv=(e'— X) z = Y^o-+-T>o-^ï''«o.

Il en résulte pour la transformée en x^t yot ^0 ^" polynôme

(e — X).r«-+-(e'— X}^«-+-(e'— X)^«, l'expression

et Ton voit qu'en mettant X, Y, Z au lieu de x^^ y^., ^q, on pourra

TBÉORIB DBS POLYNOMES HOMOGENES. 4^7

écrire simplement

d'où suit, pour le polynôme adjoint du second membre de Téquation (6), l'expression

Cela posé, faisons successivement

dans le polynôme adjoint du premier membre de Féquation (6), savoir/ — â(X--1- Y'^-f- Z=*), on trouvera qu'il se réduit :

Dans le premier cas à (e' — e) (e" — e)^'i Dans le deuxième cas à (e" — e')(e — ^')y^j Dans le troisième cas à (e — e'')(e' — 6")^^,

de sorte que les carrés des trois fonctions linéaires qui nous restaient à déterminer étant connus par les seules quantités e, e', €*, ces fonctions elles-mêmes et les coefficients de la substitution (5) sont complètement déterminés.

L'analyse que nous venons d'employer s'étend d'elle-même au cas d'un polynôme à un nombre quelconque d'indéterminées, et nous pensons n'avoir besoin de rien ajouter pour que les élèves puissent faire eux-mêmes cette généralisation. Mais il nous reste à démontrer que toutes les quantités dont nous avons donné la détermination ont des valeurs toujours réelles.

Rien n'est plus facile pour le cas des polynômes à deux indéterminées

/= AX«H-2BXY-hCY«.

En eflet, nous avons trouvé sous la forme suivante l'équation

en À, savoir

et en supposant, pour fixer les idées, A > G, on voit immédiate-

458 OEUVRES l>K CHARLES HBRMITE.

ment qu'en substituant dans le premier membre les valeurs

il prendra les signes

L'équation proposée a donc deux racines réelles : l'une plus grande que A, l'autre plus petite que C, et nous pourrons supposer que la première soit e et la seconde e'. Cela posé, les valeurs obtenues pour les carrés x'^ et y"^ donnent, en y faisant, par exemple, Y = o, les équations suivantes

et, d'après ce que nous venons de dire, on reconnaît qu'elles sont positives; donc a et p sont réels, et il en serait de même pour a' et jâ'.

Abordons maintenant la même question dans le cas plus difficile des polynômes à trois variables.

Afin d'indiquer complètement tout ce qu'il est nécessaire de connaître pour étendre au cas général la méthode que nous allons suivre, nous démontrerons d'abord ce lemme, qui est important en lui-même :

Lorsque Uinvaviant d^un polynôme homogène du second degré se réduit à zéro, le polynôme adjoint est un carré parfait.

Considérons, par exemple, les polynômes à trois variables /•= AX«-h A Yt-f- A'Z«-f- A B YZ H- 2 B'ZX -i- -x B'XY,

et prenons, mais sans supposer les coefficients réels, la substitution que nous avons précédemment déterminée :

a: = a X -+- a' Y -h «* Z, ^ = ?X-+-P'Y + p'Z, « = yX-+-y'Y-+-y'Z,

de telle sorte qu'on ait

X«-hY«-f-Z«= a:«-h y^-^z^.

Nous avons trouvé, quelle que soitrindëterniinée X, le polvnome adjoint de

égal à

donc, supposant a = o et désignant par F le polynôme adjoint de/i on voit que la substitution ci-dessus donnera en niéine temps

f =i e JT* -4- e'^' -r- e' »«,

Cela posé, si l'invariant de f est nul, Téquation qui a pour racines s, s', e", savoir

sera \érifîée pour a = o, de sorte que Tune de ses racines s'évanouira. Or on voit qu'alors des trois carrés dont se compose F un seul subsistera, ce qui démontre la proposition annoncée. Observons que dans le cas du polynôme à deux variables

/= Ax«-i- aBa-v -H C^'«,

celte proposition serait évidente, car le polynôme adjoint étant alors Ky^ — ^Bj:)' -f- Cr^ est un carré •(parfait en même temps que/", lorsque rin\ariant AC — B- est nul. Ce seul cas nous suffira même pour ce qui va suivre, comme on va voir.

Mettons Téquation en A, en employant la valeur développée du déterminant sous cette forme

(lO)

( (A'~X)[(A-àmA'-X.— B'»]

/ - [( A — X .Bî — 2 B' BB -+-r A' - X ) B'* J = o,

et considérons Téquation du second degré ^11) (A — X)(A'— X)- B''« = o.

On a établi tout à l'heure la réalité de ses racines, et l'on a démontré qu'en su|>posant, par exemple, \ >• V Tune d'elles r^ était plus grande que A, et l'autre r/ plus petite que A'. Cela posé,

46d ceuvues ue cHAitLtcs kkhuite.

substtluoas dans le premier membre de Tëquatioii les valeurs

les signes correspondants aux valeurs extrêmes seront — ^ et -l-ao, et nous allons prouver que pour A ^^ y\ il est positif, et pour X^r/, négatif. Dans ces deux cas, en eÉret, la première partie de l'équation (lo) s'évanouit, et la seconde^ en j considérant, pour un instant, B et W comme deux indéterminées, représente un polynôme a lieux variables, dont F invariant égala (A — ^X)(A' — X) -— B''* s*évanouît par hypothèse. Quels que soient donc B et B'i ce poly* nome sera du sigiie de son premier terme; mais nous savons que

l^on a

4— in<o, A — T)'>o;

les résultats des subsLitulions ont donc les signes que nous avons annoncés, tl s^ensuit que Téquation en X a ses trots racines réelles; la plus grande, £, supérieure à ti; la moyenne, e', comprise entre Tj et V; la plus petite, i'^, moindre que V- El en même temps on obtient cette conséquence que les racines de Téquation (i t) étant comprises, Tune entre £ et e', Tautre entre e et i*, le polynôme

(A — XuA'-X) — B*'

possède exactement la propriété caractéristique de la fonction dérivée du premier membre de Téquation (9). On remarquera aussi qu'il suit du mode de détermination précédemment obtenu pour les coefhcients at, |3, y, . - ., qu'on a ces valeurs

(t'-E)iE*

-t^KA'-

Or, d'après ce quVn vient de dire, et en ayant égfard à l'ordre de grandeur des quantités e, e', t", on reconnaît immédiatement que ces valeurs sont positives, Maintenant il suffit d'avoir prouvé ^Ê que ot*^ est réel, par exemple, pour en conclure que a' et % le sont aussi, Curu parant, en cl! et, les termes en YZ et ZX dans le développement de (aX + pt' Y + a'^Z)^ et du polynôme adjoint de

THÉORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. 4^1

/ — e(X*+ Y*-f- Z^), on trouvera pour a' a" et a"ades expressions réelles; donc, etc.; et Ton raisonnerait de même par rapport aux quantités P', P" et y, /.

Nous terminerons ce sujet en faisant remarquer que la méthode suivie pour établir la réalité des ra<-ines de l'équation du troisième degré en X a déjà été donnée par M. Cauchy, mais sous une forme un peu différente, dans le troisième Volume des Exercices mathématiques. Nous ferons voir aussi, en peu de mots, qu'elle s'étend immédiatement aux équations générales relatives à des polynômes homogènes du second degré à un nombre quelconque de variables, équations qui s'offrent dans la détermination des inégalités séculaires des éléments du mouvement elliptique des planètes.

Considérons à cet effet l'équation en À de degré /i -f- i , dont le premier membre serait le déterminant

An-Kl =

flj,,— X

les quantités aij vérifiant pour toutes les valeurs des indices la condition aij= ajj. Nous supposerons qu'on ait démontré la réalité des racines de l'équation analogue, mais de degré /i, dont le premier membre serait le déterminant

«1,1 — X ai,j ... «1,/» «j,i o^ï.i — ^ • • • «î,/i

et nous nommerons ces racines, rangées par ordre croissant de

grandeur,

""ïn ^jt» ""11» •••? ""ï/t*

Nous supposerons aussi qu'on ait démontré que le déterminant déduit du précédent, en supprimant la dernière colonne verticale et la dernière ligne horizontale, savoir

«1,1 — X ai,i ... ax^n-\

«ï.i «i,t""^ ••• ûtt,/i-i

An-1 =

an-1,1 «/i-i,ï ••• «1 i,/»-i — ^

irt'l

•«rVBE<i oc irfi^BLB!» ItEBlfirB.

po^-^^^fie I» propriété rarartérî*liqne «Je la dérivée première de A,,, pri-ip par rapport a a. c i?sl-rt-*iirp que. ai loa j tait le* àiibstitu-

tions

I#^^ -iigne^ de^ résultats seront respectivement

et ne pré?»enteroiit qiie ties vanati«)iiâ. Cela posé, nou» décomposerons Jk;,^, en denï parties comme il ^uit:

^in.i

«/TM.Î

l.a première sera évidemment le produit de €iii4.i.»^i — a par le déterminant A,,, et la seconde, en y considérant pour ud instant ^^t.n^ii ^^3,fi^ti -.M ^^n,fi^t comme n indéterminées, sera au signe près le poljnome adjoint du polynôme suivant :

X/,|rt«,|X,-+- ^«.jX,-

■(an,n— >')X;,J,

doiil rinvHriniil est préci^^émenl 1„, Or, en substituant au lieu de A. dïUiH A„.^|» hi série des racines t,, de l'équation \„ = o^ cet invarinni s'évanouira, et alors le polynôme adjoint, se réduisant à un carré parfait, sera toujours du même signe, quelles que soient les

valeurs des quantités <y«,«^,, <7i,«+n

Maintenant il est

aisé «le voir que le coefficient <lc <1l„^^ sera le déterminant A|,,, afVecté du signe — . l)on<* pour les xaleurs

THÉORIB DES POLYNOMES HOMOGÈNES. 463

les signes correspondants de A^,^, seront ceux de — Aj,,. c'està-dire, d'après ce qu'on admet.

Joignons enfin à ces substitutions les suivantes : a= — x et X = -i~ x: en observant que le premier terme de A,,^, est « — a"^""*"*. on trouvera finalement (jue les signes de cette fonction pour

X = — oc, 7,1, T,„ r,j, ..., r,«. -r-ac

seront

-r-. —, -^. -, ..., (—1)". (-IV-».

De là résulte que, sous les hypothèses admises, l'équation A,,^, = o a toutes ses racines réelles. Et de plus on voit par les limites entre lesquelles sont comprises ces racines que A^ jouirait, par rapport à cette équation, de la même propriété que la fonction dérivée du premier membre. Dès lors, les propriétés que nous voulions établir dans toute leur généralité découlent immédiatement de ce qu'elles ont été démontrées dans le cas particulier que nous avons eu en vue pour la recherche des axes principaux des surfaces du second ordre.

IV. — Théorème général sur la réduction des polynômes homogènes du second degré par des substitutions à coefficients réels, à des sommes de carrés.

Ce théorème s'énonce ainsi :

De quelque manière qu'on transforme un polynôme du second degré à coej/îcients réels en une somme de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant affectés de coefficients numériques également réels, le nombre de ces coefficients qui auront un signe donné sera toujours le même.

\insi, par exemple, étant proposé le polynôme

(i; — xî-xî-...-:r?-ex?^,-^jr»^,-r-...-Hxî,

on ne pourra par aucune substitulion réelle de la forme

Ia-o = «0 Xo -H po X| -h . . . H- Xo X„, a?, = a, Xo-f- Pi X, -h. ..-+-XtX,„ j ^n = «/i Xo -h Pn Xi -h . . . H- X« X„,

le transformer en un autre polynôme tel que

(3) -X5-Xî-...-XÎ-hXU, + XJ^,+...-+.XA,

k étant différent de i. C'est ce cas particulier auquel se ramène immédiatement le théorème général que nous allons établir.

Et d'abord on peut supposer k >► i, car, s'il en était autrement, on résoudrait les équations (a) par rapport aux indéterminées X, et l'on raisonnerait sur cette nouvelle substitution à coefficients réels comme ceux de la proposée. Cette résolution d'ailleurs n'est jamais impossible, car, en nommant pour un instant 5 le déterminant relatif aux équations (2), on sait que l'invariant du polynôme (1), à savoir ( — i)'"*"*, sera le produit de l'invariant du polynôme (2) dont la valeur est ( — i)*^*, multiplié par le carré de 0; et cette relation monti*e que 8 n'est jamais nul.

Cela posé, parmi les diverses équations auxquelles les coefficients de la substitution (2) doivent satisfaire, on voit s'offrir en premier lieu celle-ci :

-«5 — «î— .-•—«?-+-«?+, -Ha ?+, -H. ..-ha ?! = -!.

qui ne pourrait évidemment être vérifiée que par des valeurs imaginaires des quantités a, si l'on avait

«0=0, «1 = 0, ..., at| = o.

Or on va voir comment, en admettant la substitution (2), il est possible d'en déduire une nouvelle, qui, changeant le polynôme (i) en le polynôme (3), ait ses coefficients réels, et de plus présente ce caractère que l'indéterminée X© ait disparu dans les expressions de jFo, r,, ..., Xk^x, Comme on suppose k>ij k—i sera au moins égal à /, et, les conditions précédemment énoncées se trouvant réalisées, notre théorème se trouve par là même démontré.

A cet effet, nous commencerons par remarquer qu*on peut,

sans changer le polynôme (3), y remplacer X^ el X| par XoCos© -t-X, sin©, X^sins — X, cos3, et inlroduire par là un angle arbitraire 9 dans les formules (2), qui deviendront

Maintenant, et quels que soient les coefficients a, 3, . . ., on pourra disposer de cet angle de manière à avoir

ato cosç -^ 3o sinç = o,

et Ton sera amené à une nouvelle substitution également réelle où rindéterminée Xq aura déjà disparu dans la valeur de x^. Cela fait, partons de cetle nouvelle substitution pour y introduire de nouveau un angle arbitraire, en remplaçant X, et Xj par Xi cosy + Xj sin^, X| sin:5 — Xj cos v, ce qui se fera encore sans changer le poljnome (3). On voit, en raisonnant comme tout à l'heure, qu'on pourra annuler le coefficient de X| , dans Texpression de Xq. Or des calculs analogues pourront être continués ju>qu'à ce qu'on soit amené à remplacer Xa i et Xa par Xa i cos^ -h X^ sin;?, X*i sinçp — X^costp, et en dernière analyse on voit que de la substitution (2) on aura déduit par des opérations toujours

possibles une substitution réelle dans laquelle X^, X, Xa i

auront disparu de l'expression de l'indéterminée Xq. Ce premier {>oint établi, nous concevons qu'on répète, en raisonnant sur la valeur de l'indéterminée suivante X|, des opérations toutes semblables, mais en se bornant à faire disparaître de proche en proche, dans l'expression de cette indéterminée, les coefficients de X^, X|, . . ., Xj^2. On n*aura ainsi besoin d'introduire dans les substitutions successives que les indéterminées Xo, X|, ..., Xa i, de sorte que, ces calculs faits, on ne verra reparaître dans la valeur de Xf aucune des indéterminées qui en ont déjà été éliminées. Cela posé, il est clair qu'en raisonnant d'une manière analogue successivement sur Xj, Xj, ..., on :>era en dernier lieu conduit à faire disparaître la seule indéterminée X^ de la valeur arA-i- KHe ne se trouvera point d'ailleurs, dans les indéterminées précédentes Xm .2* Xa j, . . ., JTo, et de la sorte on sera parvenu à une dernière substitution, conséquence de la substitution (2), changeant encore le polynôme (1; en le polynôme (3; et qui tombe dans le cas indiqué H. — II. 3o

plus haut, où il est manifestement impossible que les coefficients soient des quantités réelles.

Passons maintenant au théorème que nous voulions établir.

Supposons qu'un polynôme homogène quelconque du second degré k n-\-i indéterminées, /{uq, W|, ..., (/«), soit transformé d'une première manière en une somme de carrés affectés de coefficients numériques, par la substitution réelle

w, = a, Xo-hbiXx-h,,.-+-kiXn,

Un = «/» a?o -t- 6„ a?i -+- . . . -h A» x„, de sorte qu'on ait

Si l'on donne une seconde substitution également réelle

Wo = Ao Xq -h Bq X| -H . • . -H Kj X/t,

W| = A| Xo-h Bi Xj -4-. . .-h Kl X„,

Un= ArtXo-h B„Xi-T-...-h K«X„,

de laquelle résulte la transformation analogue

/(Mo, Ml, ..., a/,) = TîoX;-f-r,,XJ-h...-f-ii„Xî,

il s'agit de prouver que le nombre des quantités £, qui auront un signe donné, sera égal au nombre de quantités yj, qui auront aussi le même signe.

A cet effet, et pour fixer les idées, supposons négatives les quantités fio, Êi, ..., e/, et positives les suivantes £|+,, £1+07 •••? ^/i- Supposons aussi que Tjq, tj,, ..., r^k soient négatifs, tandis que tik^x, 0A+2J • • -7 ''m seront positifs. On aura d'abord, en égalant entre elles les deux expressions du polynôme proposé /(«o, W|, . . ., a«),

60^0 -^ tiX\-^,,.-^tnx\= r^oXJ -+- 7), X} -+-. . .-4- ijrtXJ, les variables étant liées par ces relations,

«0^0-»- ^0 3^1 -+- . . . H- Ato .r„ = Ao Xo-h By Xi -h. . .-h Ko X^, ai iTo-f- 61 ar, -f-. . .H- ki x,i= A| Xo-f- B| X, -h. . .-f- Ki X^,

Maintenant remplaçons jFo,j:i, ...,av d'une part, Xi^t^Xi^^ ---^Xg, de 1 autre, par =, • • •, . et ' > > • ••» -=•

et AA4.1, Xa+2- ..., X;, par — =» •••» — =» on se trouvera

amené à la relation

les variables x dépendant des variables X, par les relations à coefiicients réels

^0 ■+■ — =: iTi -t- . . . -i rz= Xn.

V — ÊO V' — 61 V 6n = , Ao H . A 1 -t- ... H c^ An,

Xsi -h . a:i -^ . . . -4- -7= Xrt

V — Eo V ~ S| V^

^' y , ^» V . . JSLV

— ;■ Ao -\ . A 1 H- ... H -p=. An

: Ao H ■ \ I -f- . . . H r=z Art,

v/— ^io y/— Tii

Or, en résolvant ces équations par rapport aux indéterminées x, on sera conduit à une substitution réelle, telle que

a^o = «0 Xo -+- flo X., -+-...-+- Xo \n,

Xi = Il Xo-h Pi Xi-r. . .-r-XjXrt,

X,t= «nXo-h 3«Xi-h...-+-X„X„,

et l'impossibilité d'une telle substitution a été démontrée précédemment. \joutons encore que la résolution d'équations dont il vient d'être question n'est sujette à aucun cas (finipossibilité ni d'indétermination, si l'invariant du polynôme proposé

/(ao, wi, ...,a/i)

est difTérent de zéro, et si aucune des quantités e n'est nulle. Nommant, en effet, A cet invariant, et S le déterminant relatif aux équations (4), on aura, comme conséquence de l'équation

la relation

a8*= eo£i...6rt,

d'où il résulte bien que 8 ne peut être supposé nul.

La proposition que nous venons de démontrer montre comment la distinction en diverses espèces qui a été faite de polynômes à trois indéterminées, au point de vue géométrique de la distinction des diverses surfaces du second ordre qui sont douées de centre, peut s'étendre à des polynômes à un nombre quelconque d'indéterminées. Chaque espèce de ces polynômes se trouvera définie par le nombre des carrés qui se présenteront affectés de coefficients positifs ou négatifs, lorsqu'on fera évanouir les rectangles par une substitution réelle. Et la propriété essentielle de cette classification consistera en ce que tous les polynômes qu'on peut déduire les uns des autres par des transformations linéaires à coefficients réels, offriront tous le même caractère spécifique. Mais ces considérations vont recevoir une nouvelle et importante application dans la question suivante.

V. — Sur la dôtermination du nombre des racines réelles des équations numériques qui sont comprises entre des limites données.

Nous considérerons une équation à coefficients réels quelconques de degré /i, F(Ç)== o, dont les racines, supposées inégales, seront désignées par a^b^c, ..., k. Cela posé, soient t une indéterminée réelle, et /le polynôme homogène suivant :

/= — — -(a:-+-a^-ha»c -t-...-ha'»-»i>)» -h . (T^by -^ b*z -+-...-4- ô^-U')'

nous établirons d'abord cette proposition :

En réduisant f à une somme de carrés par une substitution réelle {ou si Von veut en cherchant l'espèce à laquelle appar» tient ce polynôme) ^ le nombre des carrés affectés de coefficients positifs sera égal au nombre des couples de racines imaginaires de V équation proposée, augmenté du nombre des racines réelles qui sont plus grandes que t.

Soit, pour abréger,

on pourra écrire /de cette manière,

et il est bon tout d'abord de remarquer que la présence des racines imaginaires dans Téquation proposée n'empêchera pas les coefficients de ce polynôme d'être réels. Eflfectivement ces racines devant être conjuguées deux à deux, si l'on a a = a -h ^^ — i, une autre racine, b par exemple, aura pour expression 6 = a — ^^ — i, et

les termes -> ± — 7» ou entrent ces racmes, seront éi^alement

des quantités imaginaires conjuguées de la forme A -h B^ — 1 et

A — By/ — 1 , dont la somme sera réelle.

Cela posé, il nous est nécessaire d'établir qu'en faisant

X — X:^ -H A:»^ — . . . -T- Ar"-* v = V,

on en tirera, sans impossibilité ni indétermination, les valeurs de