X. y. z exprimées linéairement en X, Y. Z

E(recti\ement ces équations peuvent s'écrire ainsi

et la formule d'interpr^lation de La^range donnera immédiatement

^''"ï — aFa. l^bVtO, '" ; — XF///

J70 àÊUVhES DK CHARLES HRIIIIITE.

Or, en égalant dans les deux membres tes coefficients des mêmes puissances de ÎT, on oblîendra les expressions linéaires tlex,j^, s, >.., en X, Y, Z, ,.., sans autres dénominaieurs que lesquaniités F'(a)^ F'(6), ..-, F'(*), dont aucune ne s'évanouit, puisque par hypothèse Téquiition proposée n'a pas de racines égales.

Ce point établi, considérons en preinierlieu le cas où les racines cit é, c, ,.., A' seraient toutes réelles. On pourra alors employer la substitution (i) pour reconnaître l'espèce à laquelle appartient le polynôme y^ car, exprimé en X, Y, Z, .,,, il devient

Yî

et Ton voit que le nombre des carrés affectés de coefïicients positifs i est précisément égal au nombre des racines qui sont plus grandes S que t. Là proposition annoncée se trouve ainsi immédiatement démontrée dans ce premier cas. ^

Supposons, en second lieu^ la présence dVn ou de plusieurs ^ couples de racines imaginaires, et soient, pour fixer les idées, a^aH-py/— I, i =: a — p^ — I, Alors la sulislitution (i) nVst plus à coefficients réels, mais nous observons qu'elle le deviendra en mettant, au lieu de X et Y, Xh-Y^/— i et X — Yy^^^ t. Effectivement, au lieu des équations ^(a)=^ X, ç(fr)^ Y, on au les suivantes :

et l'on voit bien que les nouvelles indéterminées X et Y seront la partie réelle et le coeffi4"icnt de \/— -i dans Tex pression m(a-h[ly — i), Semblablementj s'il se présente un autre couple de racines imaginaires conjuguées c etflf, au lieu de poser ç(c)^ Z^ cp ( rf) ::= U , on écrira

(p{cr>= Z ^- Uv/~ ^(^j = Z— d/^.

Cela posé, effectuons, dans le polynôme y, la substitution (i), modîllée comme on vient de ^expliquer par rapport aux racines imaginaires I Les termes de ce polynôme qui correspondent aux racines réelles donneront préciséuient, comme dans le premier

cas, autant de carrés affectés de coefficients positifs, qu'il y aura de racines moindres que /; ainsi nous n'avons plus à considérer que les termes correspondants aux racines imaginaires conjuguées. Soient a et b deux racines de cette espèce; les termes

— — -ç^(a)+ r-3-.Ç^(6) deviendront, en effectuant la substitution,

^(X^Y/37)«^^(X-Yv/-)',

expression susceptible d'une réduction remarquable.

Soit en effet-—— = p(coscp -hy — ' sinç), t étant réel; ,

sera la quantité conjuguée, à savoir = p(coso — y/ — i sinç), et notre expression deviendra

p[(cos2-^v/irTsin?)(X + Yv/— )]'

+ p[(cos?-/3Tsin2)(X-Yv/=^)]'

p ( X ces ^ — Y sin I j — 2 p ( X sin î -+- Y cos |? j •

ou bien

Nous sommes donc amenés à cette conclusion, que la présence d'un couple de racines imaginaires conjuguées dans le polynôme y donne lieu à deux carrés dont l'un est affecté d'un coefficient positif, et l'autre d'un coefficient négatif, quel que soit t. Et en général, si l'équation proposée contient [jl couples de racines imaginaires, les termes du polynôme / qui contiennent ces racines donneront lieu à [jl carrés affectés de coefficients positifs et à [JL carrés affectés de coefficients négatifs. Le nombre total des carrés affectés de coefficients positifs qui s'offriront pour caractériser l'espèce à laquelle appartient le polynôme sera donc, comme nous l'avons annoncé, le nombre de couples des racines imaginaires augmenté du nombre des racines réelles de l'équation proposée qui sont plus grandes que t.

Désignons par (^) ce nombre total des carrés affectés de coefficients positifs, et représentons par Cq et Ci deux valeurs distinctes de l'indéterminée t dont la première soit plus grande que la seconde. Il est visible que l'expression (/,) — (^p) sera précisément

le nombre des racines réelles de l'équation proposée F(!î)= o, qui sont comprises entre les limites t^ et tt. Maintenant il ne nous reste plus que quelques mots à ajouter pour montrer que le polynôme / peut s'évaluer au moyen des coefficients de l'équation F(Ç) = o. Observons, à cet effet, que tous les coefficients de/ sont

de la forme

ai bi ci ki

Or, en décomposant en fractions simples ^ > on prouvera

tiV'(t) „ ai bi ki

¥yt) ' t — a t — b^t — k

n(^) .désignant la partie entière. Si donc on divise t'F'{i) par F(^), et qu'on désigne par R le reste de la division, on aura précisément

R ai bi ki

La quantité désignée par {t) se trouvera donc en réduisant à une somme de carrés un polynôme du second degré entièrement connu; mais cette détermination des coefficients peut être évitée par l'analyse suivante qui se fonde sur la proposition déjà démontrée, que tous les polynômes déduits de /, par des substitutions réelles, appartiennent à la même espèce, c'est-à-dire qu'en les réduisant d'une manière quelconque à une somme de carrés, on arrivera toujours au même nombre de carrés affectés de coefficients positifs ou négatifs.

Soit

l'équation proposée. Posons

nous ferons en premier lieu la substitution propre à rendre identique, par rapport à l'indéterminée !J, Téquation

En comparant dans les deux membres les coefficients des mêmes

THÉOBIE DES POLTTCOMBS HOMOGÈNES. 4?^

puissances de s^ on déterminerait effectivement les valeurs de x,

^v, 5 en X, Y, Z, — Mais il suffit de remarquer qu*en mettant

à la place de Z les racines «, é, ..., A*, on en tire les relations

11 s'ensuit que le poljnome /, que, pour abréger, nous écrirons ainsi :

se change par cette substitution dans le suivant

le signe \^ indiquant la somme de tous les termes relatifs aux

diverses racines a, 6, A".

Cette transformation obtenue, nous en ferons une seconde, en

remplaçant X, Y, Z V, par des indéterminées qu'il convient

de représenter ainsi : IJ^, ÎJ,, IJ,, ..., ^n-tj et cela en posant

X = ;«-! -^ />! ïit-j -t- />! ;»-a -+-... ^ />« -1 îoi

V = ïo.

On arrive alors à cette conséquence, que les fonctions linéaires ^{a)j^(b) ^(^)- peuvent être représentées parles quotients

-^J* y y ^,j ç — ^f si, la division faite, on remplace dans

chacun d*eux une puissance quelconque de ^, telle que ^', par l'indéterminée ^i. Nommant donc X' ^^^ seconde quantité analogue à Ç, il est clair que Texpression

yF ;. F-;-.

représentera parfaitement, et sans ambiguïté possible, ce que de

474 OEUVRES DE GHARLICS HKRIIITB.

vient, par la substitution (A), le polynôme

pourvu que, les divisions effectuées, et après avoir ordonné par rapport à Ç, on écrive d'abord si au lieu de J^', sans toucher d'ailleurs à l'indéterminée Ç'; puis, cette opération faite, qu'on remplace semblablement ^'' par Ç,, après avoir ordonné par rapport à ^'.

Ceci bien compris, rien ne sera plus facile que de saisir les transformations successivement indiquées dans les équations suivantes :

F(g)F(;-)/vi <-i; v<-r\ La dernière nous conduit à employer les relations bien connues

2fe=(^-^')2;c^=(^-^')

de sorte que le résultat de la substitution (A) dans le polynôme ( se trouve représenté par cette expression très simple, et de laquelle ont disparu les racines a, 6, . . ., Ar, savoir

Quelques applications suffiront au lecteur pour se rendre familière cette métamorphose curieuse d'une fonction entière de deux variables Ç et ^' en un polynôme homogène du second degré, et l'on verra sans peine un algorithme pratique, qui permet d'effectuer rapidement cette transmutation de la première expression analytique dans la seconde. Mais, pour abréger, nous supprimerons ces détails et nous nous bornerons à remarquer que, lorsqu'on

THÊORIK DES POLTNOVKS HO\IO\iK\ m ;i^ \ \

donne numériquement les limites /«« l|« ou doil, pour ohlouiv U'% quantités nommées précëdemmeni (i^) el \^/^^, ojumvi^ »ui^ I*^* expressions

dont les coefficients sont purement nuin(^ri(|urM, ol \u\\\ jm^ «ht l'expression générale, contenant rindt^eriniiu^o /, \ lu vi^'ih^ nu trouverait de celte manière (après avoir fait diMptinillrn \t^n vtw tangles des variables) les coefficients dr.H rarn^n i*iipt'iMM^« |uil' ili'«i fonctions de /, dans lesquelles on pourrait Hiil)Mlihif«r tt /nii^h*r/iif ( les valeurs to et t^; mais Topération Hf^rail hriiiicdiip iiliin immImm rassée et plus longue.

Supposons, par exemple, quVm veuille Huvoir roirilii^fi d« m cines de l'équalion

sont comprises entre zéro et l'unité* On troiiv^rii tVHÏforti (ikH\t pression faite du facteur positif /^/ qu^ l^rspr^^n^ioii

donne le poirnome qoadntiqtj^ ^ troi* Uu\hâr99$$i$$/'M%

Ce polTDome y^T / = ->♦.*: r^/3vît ^^

et, si Ton j fait / =: : , ^ Ci»-» >r3U'

de *WtJt ^l«Ç i»r iJlrtUîr» Ch--^ ••• t^-' '> 'M;iv4'..'^ -jw ^y^ÀA ^. /*.!

co«pr»«* *anr* »^-' *f ' pm^ »,? */>fi - ':ii*.é #♦..•/• <^ ^ .^..

47^ OEUVRES DE CIIAHLRS HËRIIITE.

grande et positive, i se réduit au polynôme qu'on décompose aisément comme il suit :

Donc, comme on n'obtient aucun carré affecté de coefficient positif, le nombre des racines de l'équation proposée qui sont supérieures à l'infini, augmenté de la moitié du nombre des racines imaginaires, c'esl-à-dire évidemment le nombre des couples de ces dernières racines, se réduit à zéro. Ainsi l'équation proposée a toutes ses racines réelles.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les considérations précédentes, qui ont fait voir toute l'importance de cette opération algébrique si simple et si élémentaire, qui consiste à mettre un polynôme homogène du second degré sous la forme d'une somme de carrés. Mais, ainsi que nous l'avons promis en commençant, nous reviendrons, pour la compléter, sur le mode particulier de décomposition qui a été donné au paragraphe I.

Considérons, par exemple, un polynôme à quatre variables /(a:, y, z, v)\ la méthode dont nous parlons conduit à un résultat de cette forme,

et, comme il importe surtout de connaître les facteurs e, e', e'', e"', dont les signes déterminent l'espèce du polynôme, nous allons donner le moyen de les calculer directement.

A cet effet, nous observons que l'invariant du second membre sera, d'après les théorèmes précédemment établis, le produit tt't"t"'^ multiplié par le carré du déterminant relatif aux fonctions

linéaires

X H- ay -k- bz -\- cVy

Or on reconnaît que ce déterminant se réduit à son terme principal, qui est l'unité.

Nous pouvons ainsi regarder comme connu le produit tt € t* . Cela posé, faisons dans l'équation précédente 1^ = 0. un rais^jnnement tout semblable montrera que eê'c" est l'invariant du polvnome à trois variables /"( jr, v, 5, o).

Continuons de même en supposant 1^ = 0, ^ = o, puis enfin f ^ o, 5 = o, V = o, on trouvera successivement que c. c' e*t Tini-ariant Aefix. v, o, 6) et t le coefficient de x^, dans le p^^lrnome proposé. Ces quatre coefficients pourront être calculés d'une manière directe, comme nous Tavons annoncé.

En général, soit f\x^. x,, ..., x^* un polvnome homojrêne â n + 1 indéterminées: nommons A/ Tinvariant du polvnome qu'on

en déduit en annulant toutes les indéterminécrs jt/^i. x/^2 ^m*

et A^ le coefficient de xj. on trouvera par La métbo^le de décomposition en carrés, dont nous nous occupr>ns. le résultat «ui%ajit :

les fonctions linéaires avant cette forme.

X;= X; — ax^^j — 6x,.^ — - .. — kr^.

où a, b k sont d<** constante* réelles.

L'espèce k laquelle appartient le pol vnome f ^ détermine doac directement d'aprr? le nombre de^ termes p^/^îtîA et a*:^^%tU de la suite

OU. ce qui reii^-nt au in^-îne. d'apr»r* le nombre de^ ^artation* et des permanence* •^*' la -uile

C'est donc de r*-*" 'jU€!ii.tJt''t rju*- d^y^ii'i la dét^riiiioalir^a de J expression déri^-*: tv'-.*. < . ti^-jre pal / daiii" je j^jtii'yxjue

OU dans celui qui a pour expression symbolique

(^-OF'(OF(^-)-(/-C)F(r)F(0

Relativement au premier de ces polynômes, on trouve ainsi que

^^ = 2dr7' ^* = 2(a-<)(6-/)'

le signe \^ représentant la somme des termes qu'on déduirait du

premier en y faisant toutes les permutations des racines. Or ces formules sont précisément les fonctions de M. Sturm, sous la forme que leur a donnée M. Sylvester; de sorte que les considérations précédentes peuvent être considérées comme donnant une démonstration nouvelle du théorème de ce célèbre géomètre, démonstration dont le principal caractère est de n'employer aucune considération de continuité.

A ces dernières observations sur la réduction d'un polynôme du second degré à une somme de carrés, nous ajouterons un procédé donné par M. Moutard, professeur à Paris, pour effectuer l'opération dans un cas où la méthode serait en défaut, par exemple s'il était question du polynôme

/ = axy -^ ^xz-\-yyz dans lequel les carrés des variables n'existent pas. On observe que

et qu'on peut ensuite écrire

^(oLX -\-yz)(aLy -\- ^z)= [aa: -h a^ h-(y -*- P)^]*

ce qui donne bien une décomposition du polynôme proposé en trois carrés. Et Ton pourrait opérer d'une manière semblable dans les cas analogues relatifs à un nombre quelconque d'indéterminées.

SUR