DES COURBES GAUCHES

Nouvelles Annales de Mathématique s y 2* série, t. V, 1866s P- ^97-

On donne dans renseignement un calcul un peu long pour déduire de la formule

I d^ ^'^ ds

l'expression du carré de Tinverse du rayon de courbure au moyen des coordonnées x, y^ z et de Tare 5, savoir

— = -j-j [r dx d-y — dyd^x)*-^ idyd^z — dz d^y)^ -^{dz d^x — dxd^z )«],

la variable indépendante étant quelconque. On peut Tabréger comme il suit.

Soit pour un instant

dx . dr dz

"=-01' ^=d-s' "=1;' et faisons

a' =^ a -i- don b' = b -t- db, c'=^c-i-dc,

Tangle de contingence c^o sera donné par la formule relative au sinus, savoir :

sin- dn =( ab' — ba' )^-^( ac — ca )^ — ( bc' — cb' )^;

48o (KUVRE8 DE CHARLES IlERMITE.

de sorte que Ton aura immédia lement rfç^ en calculant les expressions a6' — 6a', Or on trouve

ab'—ba'=^ a(b -+- db)— b(a -\- da)^ = a db — b dcLy __ dx ,dy dy ,dx

~~ ds ds ds ds

et cette dernière expression donne lieu à la réduction suivante

dx d*yds — dyd^s dyd^xds — dx d*s dx d^y — dy d^x ^ "ds ds* ds ds* ~~ ds*

On a donc par un calcul bien facile

, , , , dx d*r — dy d>x .

ab'—ba=^ -^ , , -^ ds.

ds*

et semblablement

, , dx d*z — dz d*x .

ds* d'où suit, comme on voit, la formule annoncée.