SUR L'INTÉGRALE Z

Annali di Matematica, t. I {i* série, 1867, p. i55).

I/întégrale / ^ ^ ^ présente deux cas bien distincts, suîvanl

que l'exposant m est pair ou impair; dans le premier, elle est transcendante, dans le second, simplement algébrique et de la forme Pv^i — J^^, l^ étant un polvnome entier en x qu^on obtient ordinairement au moven du procédé de l'intégration par parties, mais que Ton peut déterminer dillércmment et de manière à mieux mettre en évidence sa nature analytique.

Je chercherai en premier lieu le degré de P, en développant suivant tes puissances décroissantes de la variable les deux membres de Téquation

Dans le premier, le terme le plus élevé en x sera -^= ? et dans

//ly — I

le second OLX^'^^y — j , si Ton fait P = 7.x^-r- %'j-^~* -r. . .; de sorte

que Ton a

et Ion obtient en même temps la valeur du coefficient a, savoir

Cela fait je poserai, pour obtenir P.

/ : Vs »- ' — * •

' il — ■/' -

n. - II. 3i

48*2 OEUVRES DB CHAULES HERMITB.

C étant une constante, et l'on en déduira

I r x"^dL

y/l — x'^ yj \ — X^ J^ yj \— X^

Or, en développant le second membre suivant les puissances ascendantes de la variable, le premier terme donnera la série infinie