C -/ I , «3 , i.3.5...an-i

-=^ = G( I -h -ar«H -x^-\-, ..H 7— :r««-i-... ).

Quant au second terme -t== / « il donnera également

naissance à une série infinie, mais commençant évidemment par

la puissance 07"*+* . Comme P est un polynôme fini du degré m — i ,

il est clair qu'en posant m — i = 2ai, l'effet de ce second terme

doit être de détruire tous ceux de la série , venant après

yj\ — x^ ^

1 .3.5. . .Jin — I .„, 1» . ,^ I ---; X-", a ou cette conclusion :

Dans V équation (1), le polynôme Pest, à un facteur constant /}rès, [r ensemble des premiers termes du développement de

(i — x'^) ^, jusqu'au terme en a?^", suivant les puissances -ascendantes de la variable.

Pour déterminer le facteur constant C, il suffira de profiter de la remarque faite tout à Theure que a = ; on devra donc poser

<l'où

J'observerai enfin que l'équation (i) différentiée donne

X'" = -i' (1 — a-M— Pj", dx

d'où l'on tire aisément une équation linéaire du second ordre sans second membre, car il suffit de différentier une seconde fois, puis d'éliminer le terme indépendant de P et de ses dérivées. On trouve

SUR LINTKCRALE / . |H J

de la sorte

r(\ — a?* )-7— r -4- [(m — 3lj^*— //i 1 -; \-{ni — i )x V = o.

' dx' flx

Cette équation est vérifiée en posant P =--==; ain;*!, en

partageant (Vune manière quelconque le développement ordonné suivant les puissances croissantes de x de la série

i (i — x^) *, les deux parties satisfont à une même équation du

second ordre.

J'arrive au cas de m pair dans l'intégrale / ' 1 > et je pO!»c

alors

.T"'(lr ; /•' t/x

ri)

, .T"' ar y i tix

£ désignant une constante et J^ un nouveau polynôme, commençant comme tout à l'heure par le terme Je n'ajouti; pas

de constante, le second memhre devant être comme le premier une fonction impaire de la \ariable. Ïja grande difTérence de nature analytique des relations 'i» et <2) va se manife<ïter â l'égard de^ polynômes P et ^f , car. en OfK'rant absolument comme plu?» haut, on obtient cette conclusion :

Dans l' équation (2» le polynôme J^ est, à un facteur près, r ensemble des premiers termes du dévelop [Moment de la jonr,'

tion transcendante — =^= jusqu'au terme fn x-" *. suivant les puissances ascendantes de La variable.

Ce dé% eloppemenl Lien connu, et que donne immé'Ji^teifif'ijt l'équation

tr '- ^^ -'r = -

savoir

conduit, en faisant /?i = 2/i, à l'expression suivante :

-« / a , 2.4 . a.4.6...an —a \

Et en même temps on arrive à la détermination de £ en posant