fi. . in — 2 __ I ^ r 3. 5. 7... 2/1 — I ~ m ~ in

d'où

c'est-à-dire, précisément, le coefficient de j?^" dans le développement considéré plus haut (i — x^y^.

On tire aisément de ce dernier résultat la proposition suivante :

En désignant par F{x) un polynôme entier, Uintégrate --=z=r sera de la forme

^{x) désignant aussi un polynôme entier, et le coefficient e de la partie transcendante s'obtiendra en calculant le terme indépendant de X dans le développement de l'expression

F(x)(.-Jj) •

suivant les puissances décroissantes de la variable.

Mais on peut le démontrer immédiatement en remarquant d'abord que l'on a évidemment / / =Tce, et ensuite que

l'intégrale définie 2 / ' peut s'obtenir en intégrant

J^x VI — ^*

''^==Âj z décrivant un cercle de rayon infini, ayant son centre a

l'origine. Il faut, à cet effet, développer suivant les puissances décroissantes de z l'expression proposée

STR L INTEGRALE / « ^»

Or, ¥{z) étant un polrnome entier. la quantité F»^5' ( i j l

ne renferme qu'un nombre fini de puissances positives, et, en désignant par z le ternie indépendant de la variable dans celte quantité, Tintégrale cherchée se réduira simplement à celle-ci, ^

de sorte que Ton a bien c = s.

On arriverait enfin au résultat, par une voie parement algébrique et très simple, en partant de Tégalité

¥ X\(iT ^ r tijT

— :::3— -— =<l»(jr>v I — •'*- — e / ■

V'i — J** .' V I — Jr*

Il suffit en effet de diflerentier, de développer ensuite les deux membres suivant les puissances décroissantes de la variable, et de

comparer les termes en — •

SUR