DE PREMIÈRE ET DE SECONDE ESPÈCE

Annali di Matematica, t. Il (i* série, 1868, p. 97;. (Extrait d'une lettre à Brioschi.)

Au lieu d'efTectuer suivant les puissances ascendantes de la variable X le développement des quantités

je poserai dans ce qui va suivre

J/»-'" /»îx- dx ^1

f , =sJ^K-x^)^x^k'^x^)y^%x^'^^K

De cette manière on oblient pour les coefficients aL„ et p„ des polynômes rationnels et entiers par rapport au module, dont voici quelques propriétés.

En premier lieu, réduisons à un terme algébrique, et aux fonctions de première et de seconde espèce, l'intégrale

Jr* x*\»' dx ^ v/m-x^-)(i — A*x^/

DEVELOPPEMENT EN SEIIE DES INTEGBALES ELLIPTIQUES. 4>7

en posant celle égalilé, où Kexposanl n e=.t entier, P un polvnonie entier en x, A el B des constantes, savoir :

on aura

Une seconde propriété consiste en ce que les polvnome^ z, et ^^ sont les dénominateurs et numérateurs des réduites de la fraction continue \ ')

8ti -T- A*» — ..

représentant le quotient

\ Il — JT- n I - - A-JT* }

Introduisons, au lieu du module, la quantité k -^ j ='^£, et posons

(*) Celle a-'sertion n'csl cxaclc qu'à iJc» fadeurs iiuiiiérîi]ue> prc*. Si l'on

désigne par -r^ la /!'*■• réduilc, on a

on aura ces relations,

2(n-+-i)£-^ — -^-'in(n-hi)\„=('in-h 0*— ^'

inz~-i h --7 jin(/n-i)Brt = (2/H-i)*— -3 — >

at ai at

et euiin les deux équations simultanées linéaires que voici :