SUR LA TRANSCENDANTE E
Annali di Matematica, t. [II (2* série. 1869, p. 83).
En posant avec Cauchy
e« I r"^ Ert= n-7 / sin'^w cos(ecos(o)û?a),
rinlégrale définie qui figure dans cette expression étant la transcendante de Bessel, on trouve, lorsque n est un grand^nombre, la valeur limite que voici. Posons
£ = iî sin«p, on aura
^inr. coso
SUR L'INTÉGRALE /, i
"*"* sin oidx
■ 2J"cosa -+- X*
Bulletin des Sciences mathématiques, t. 1 (1870, p. 32o).
Soit
/•/ \ r^^ sinaidx
^ ^ J^ I — - ixcosi-^ x^*
il est d'abord aisé de voir que l'on a
car, en faisant, dans l'expression
-, . /*"*" sinarfr /(a-+-7:) = — / -,
la substitution x =^ — /, nous obtiendrons sur-le-champ
•'^ ^/j 1 — 2/cosa -+- l« •' ' ^
La fonction /(a) est donc périodique, et il suffît, pour en obtenir la valeur générale, de la déterminer en supposant a compris entre zéro et tî. Faisant à cet effet
T — cosa = u sin a.
ce qt
li donnera
écrirons
r**"* sina y, I — aarcc
^in« dx
rfli
- 1 — co» a
nous
dx
►sa -1-
- 'àx c.nsT. ■+■ .r'
1 rota
ina
•ma
du
I %\iin d.r , .
SUR L INTEGRALE / r» 49D
de sorte que, dans le second membre, les deux intégrales représentent les ares les plus petits, renfermés entre — -' et H- -> ayant respectivement pour tangentes les quantités
I — co%i a — I — cosa it -4- x
— : z= tanc - et : = taiic
sina -À sina ^ 2
Or, a étant moindre que iz par hypothèse, la première intégrale
sera par conséquent -> mais la seconde aura pour valeur l'arc -^
diminué de 7:, c'est-à-dire : nous aurons donc
r"^' s'inoidx r
entre les limites indiquées pour la variable a. Maintenant la
relation
donne cette conséquence que, entre les limites tt et 211, /(a) a pour
valeur — -, de sorte que nous nous trouvons amené à l'expression
analytique, par une intégrale définie, d'une fonction discontinue
égale à -f- - ou ^> selon que la variable est renfermée entre 2/i7r
et (a/i -h i)7r, ou entre les limites (2/1 — 1)11 et 2/111, n étant un nombre quelconque.
On voit donc comment on peut être amené, par les considérations les plus élémentaires du calcul intégral, à la considération si importante en Analyse des fonctions discontinues, et j'ajoute que l'expression en série trigonométrique de cette fonction particulière qui s'est ainsi oflferte se tire facilement de l'intégrale définie.
11 suffit, en effet, d'employer ce développement connu, savoir :
I— ixco^n-^- x^
et d'observer qu'on a
/ a?"-' dx = 0
OU
suivant que n est pair ou impair, pour parvenir au résultat que donnerait la formule de Fourier, savoir :
- , Z*"^* Hinse/or / . sin3a sinSa \
11 serait même possible d'établir la convergence de la série, en limitant le développement de la fonction à ses n
*^^ I — -2 X COS a H- j:*
premiers termes, et considérant le reste qu'on trouvera sous cette forme, savoir :
R>,= sin(n + i)a / - — sin/ta/ — ;;
J__^ I — tiarcosa -ha:* J^ i — aarcosa -h x*
mais je ne m'y arrêterai point.
Une autre intégrale définie élémentaire conduit encore à la même fonction discontinue, c'est celle-ci :
dx
', (rt-^)/, — ^«
dont la valeur est * ou , suivant que la constante a.
qui, en valeur absolue, doit être supposée supérieure à l'unité, est positive ou négative. 11 en résulte, si Ton fait a == » qu'on a
si II a lix
tz ou — it,
/• * ' SXWlLitX
suivant que sina est positif ou négatif; mais cette expression ne diflere pas au fond de celle dont nous venons de nous occuper, elle
sV ramène en effet par la substitution x = — — ^, qui sert en général
à rinlégralion des radicaux de la forme y i — x-. Sous une forme ou sous Taulre, le passage brusque de /v*^ d'une valeur nulle
^ -f. -, ou — -> semble moins caché dans Tintégrale que dans I»
série Irigonomélrique : car, en supposant x infiniment petite elles ollroul, sous le signe d'intégration, aux infiniment petits près du
second onire. Tune le facteur ^ ^» l'autre le facteur j,
SUR L INTEGRALE / -• Xq-
,f j I — aa-cosa -r- JT* ^^'
qui, à la limite supérieure J7 = i, rendenl les intégrales infinies; c'est du moins par Tinlermédiaire de cette forme, du produit d^une quantité infiniment petite par une quantité infiniment grande, que se trouve réalisé le passage brusque d'une valeur nulle à une valeur finie.
Je remarque enfin qu'on a
J__^ (i — aarcosxH-j-«>« ,/j \i— 2j-cosa -+- j-»/
et rintéerale est nulle, en général , puisque la fonction — '~"^^^^' —
prend la même valeur aux deux limites ; toutefois, pour cosa = di i , elle est infinie, l'expression à intégrer entre les limites -|- i et — i
étant . •
suu
