RELATIVE A L'ADDITION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE PREMIÉHE ESPÈCE

Bulletin des Sciences mathématiques, t. II (1871, p. ';tii

La première construclion connue de celte équalion et qui a v\v donnée par Lagrange résulte du rapprochement de la relation

cosaina •= cosam(j7 -\- a) cosanij- -h siiiain(j: -f- a)sinaim*A aiii a

avec la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique. C)n en déduit aussi une construction plane en posant

\ = (•osam(.r -h a ;, Y = sinain {x -k- a)^

et déterminant les points de rencontre de la droite

cosama = X cosani»r -4- Y sinamo^A am a

avec le cercle

Cette droite est une tangente à l'ellipse

/ \ s /YAainay

\cosa!Urt/ \coscNiu//

CONSTRICTION UÉOU KTll I 0 l* E. 499

dont les axes ont pour valeurs

A = rosaiii<7.

rosaiiwï

B = - sin aiiu K — a ),

A aiiw/

Ajanl donc construit cette ellipse ainsi que le cercle, l'un des points d'intersection aura pour coordonnées

\ ; cosamCj: -»- a ),

Y = sinam (.r --»- a)

et Tautre, en remarquant que Téqualiou de la droite ne change point si Ton change « en — «, les quantités

Xo = cusam(j: — a )^ Yo= sinam (t — a).

On voit donc qu'en menant Tune des deux tangentes à Fellipse

par le point

Xo= cosain(jr — a),

Yy = sinam (x — a),

cette construction donnera d'abord celui-ci

\ z= cosain(\k; -r- a),

Y = sinam {j- -^ </;,

puis, en continuant dans le même sens,

\i = cosam(\r -h ia ), Y| — «ijnain {x -r- 3a >;

et, en général, le /i'«""^' cùlé du polygone inscrit au cercle et circonscrit à l'ellipse conduira à la construction des quantités

cosam|x -:- (>.n -r- !)«], sinam[^ -i- {in -r- i)a\.

En opérant en sens inverse, on trouverait, |)our les coordonnéesdes sommets, les expressions

cosam|./ — { jin -t- i)ft], sinam [./• — {-/.n -^ i,a\.

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