L'ÉUMDÎATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES (M

Cours d'Analyse de l'École Polytechr^ique, 1873, p. 215-2-29. Paris. Gaulliier-Villars.

I. C'est à l'égard des fondions de plusieurs variables que se présente la question de la formation des équations aux différences partielles, c'est-à-dire des relations entre une fonction z. les variables X. 1% ..., et les dérivées partielles des divers ordres

-r* -7-' -T— ' -i — -7-» Considérant d'abord deux variables seule-

dx dy dx' dx dy

ment, le premier point de >ue sous lequel nous Tenxisageons est

celui qui s'offre dans Tétude des cônes, des cvlindres, des surfaces

de révolution, etc. C'est en eflet la définition géométrique d'une

famille de surfaces par un certain mode de génération qui conduit

à définir analytiquement une fonction 5 de x et y par le système

de deux équations

où entrent un paramètre variable a et un nombre quelconque n de

fonctions arbitraires de a, représentées par A, B L. Obtenir

une équation aux diflérences partielles, à laquelle satisfasse la

(*) Hermite a consacré en 187J deux articles à cette question, que l'un trouvera dans le lieport of the British Association, t. \IJI. p. 233, et dans le Messenger of Mathematics, t. II, p. ^x). Nous croyons iniiiile de les reproduire, Hermite ayant dcTeloppé ces deux Notes dans son Cours d'Analyse de l'École Polytechnique. Cest le Chapitre de ce Livre h: rapportant à ce sujet que nous réimprimons ici. K. P.

502 (JKIVUES l)B CliARI.KS IIEUMITK.

fonction z, quels que soient a el ces n fonctions, sera donc la question analo<;ue à celle qui nous a |)récé(leminent conduit à la formation d'une équation diiîerentielle ordinaire d'ordre n.

A cet effet, j'observe en premier lieu que les relations données permettent de considérera cl y comme des fonctions de z dont les dérivées successives

, dx - d^jr

dz dz*

s'obtiendront, soit directement si l'on peut avoir x ely explicitement exprimés en ^, soit par les règles relatives aux fonctions implicites.

Dans ce dernier cas, nous aurons d'abord

■ d^ , do , do

\d7''-^dp^'^7rz

' dx'^dy^- dz

puis

I d-o ,j rf*9 , d-o , (^^^

1 "^ Tip^ "*" d^^z^' " 'dVd'z^' "^ TTF ~ "'

dx dy * tlx^ dx dy '^

dy^ *^ dx dz dy dz * dz^

et ainsi de suite.

En second lieu, je remarque que

•étant la fonction qui résulte de Télimination du paramètre a, on reproduira identiquement la quantité z si l'on y remplace jt et j^ par les valeurs que Ton tire de la résolution des équations (1), car aiilrement ce serait de deux relations conclure une troisième qui en serait distincte. D'après cela, et envisageant x ^X. y comme

(Ol

fonctions de z, la pmniène dérivée de Tidendlè oklenue dMinen rêgaJité suivante

^z Jz

la seconde et la troisième celles-ci :

dz ^ */• ^ d'z . d'z ,tz ,

cijr «fv #ir- .fjrdr ' «/»**

\ dx dy \dx' dxdy ' dx*-' - J

' djT- f/x- dv djr dy* «f »"* '

Les quantités x\ x\ x^. y\ y^ i-^ doî\ent être remplacées par leurs valeurs en fonctions de z^ ou éliminées au moven des relations r^^, (3i En continuant les mêmes calculs jusqu^à la

dérivée d^ordre n^ on parviendra à un svstème de n équations où les dérivées partielles de Tordre le plus éle>é seront évidemment

dj-^ rfx»-« dr dy*

et, en v joignant les deux relations proposées, il sera possible (l'eiTectuer l'élimination du paramètre a et des n fonctions arbitraires

C'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux diflVrences partielles d'ordre /*. Dans le cas le plus simple de ^ = i, lorsqu'il n'existe qu'une seule fonction arbitraire, celte équation aux diflérenées partielles s'obtient immédiatement en résolvant par rap|H>rt à a et à A les équations

^(x,Xy z, X, A>=o, •^<x, V, 5, a, A) = o.

Ajant en effet

il ne restera plus trace du paramètre ni de la fonction arbitraire

5o4 OEUVEES DB CHARLES HERMITB.

dans les relations (2) qui deviennent

rf4>

rf*

dr dy -^ dz

dx dy ^ ^-^

et le résultat de l'élimination de x' et y entre ces équations et Péquation (4) est immédiatement donné en égalant à zéro le déterminant

dz d^ dyv

dx dx dx

dz d^ dW

dy dy 'dy

dz dz