II. Soit, pour premier exemple, les équations
X = ma -H a, y=nz-{-\j
qui représentent la génératrice d'un cylindre, nous aurons
dz dx dz^
dz
dz
= m -z — h ri'-z 1;
dx dy
Téquation aux différences partielles des surfaces cylindriques est
donc
dz dz
dx dy
La ligne droite
X Xo= a(5 — 5o)j
y-'yo= A(3 — ^o) est la génératrice d'un cône ; on trouve alors
dz dx
dy
z — Zq
r — xç, ' iz-zç,)^
z — Zq
(z^ZoV-
dz
dz
Ê LIMITAT I03I DIS FOXCTIO'S ARIITRAIKE». Vk^
et, par conséquent, pour Téquation aux ilillereuces partielle^ iW^ surfaces coniques
dz
dz
cl)
Les surjaces de révolution sont enjreniiréos pur la ciivoufô* rence
OT -ir- by — cz = A, ce qui nous donnera
dz dx
dz ,
dp y-y^ '
et par conséquent Téquation aux didérences parlicllrs
[<^^y -ro)—à(z — z^,)\~ -h[a(z— z») — c(x — Xo)\'^^ = ôix — Xo)— a(y~-yt,h
Les conoîdes enfin ont pour gén^'-ralrice la ligne droite
X — tnz — p — a j K -- /i - — y =i o. a -r — h y — cz = \,
qui se meut parallèlement au plan fixe ax — hy -^ cz :^ o, et
rencontre la droite
X — mz — p.
y = nz — 7.
L'équation aux différences pârtieileà se pré^**ntft donr. ^on^ h forme
r — mz - p
dz iz nh - r — nyt- ^
r . dz i^ J
dr
qui devif:nr pj-i^ ^imp^m-^nr.
^ rfi A p
If
lorjrpi.»
*■ ^^' y-^w II,-*» A^r ^7»lni .|«»^ rv.
5o6 OEUVRES DK CHARLES HERMITB.
III. La Géométrie donne encore d'autres exemples qui conduisent à l'élimination de deux et de trois fonctions arbitraires. Soient, en premier, les équations
X — inz — p = A(5 — a), y^ nz^q = B(z — a),
représentant une droite qui rencontre dans toutes les positions la
droite fixe
X = mz -h p,
y=nz-^q.
Nous trouverons d'abord
et, observant ensuite que
{y — nz — b)k — {x — niz — /?)B = o,
nous en conclurons
et, en éliminant -^9
(y—nz — q)x' — {x— fnz—p)y'=^ m(y — q)— n{x — p),
OU bien
vx' — uy' = iv,
si l'on pose, pour abréger.
Il ■= X — mz — p^ V =1 y^nz—q, w = ni(y — q)— n(x — p).
Ayant d'ailleurs
dz ^, dz ^j il en résulte ces valeurs
dx dy-^ '
dz dz
dy , dy
dz dz -^ dz dz
dx dv dx dy
ÊLIIIINATIOX DIS FONCTIONS AftBlTftAIftCS. W;
el Téquation (5) de la page 3o3 donne Féquation aux différences parlîelles
d'z dz i1z d*'Z
„ a , . . - - — a , - -— I . - — li ) = o.
dj-dv di ' dy dr- djr
Elle 5e simplifie si l'on suppose m = «j. ^# = u. /i = o, y = u. Je sorte que la droite fixe soit Taxe des z. et tle\ient
rtx- didy ' dy-'
Les surfaces gauches à pldn directeur avant pour génératrice la droite
'f X — by -r- /* 5 = 1.
parallèle à un plan fixe
ax ^ h y ^ cz = o.
conduisent au calcul sui\anl.
Nous aurons d'abord
riT — by' — r = (*. X = \.
puis
jr' = o. ^' = «•.
de sorte que l'équation j de\ieat
dr^ dj dy ' dy' "
Cela étant, les deux relation ^
, . dz dz
dr dt"
donnent
. dz dz
, dz .tz ' - . '^Z ./•'
<tr dr dr *tr
5o8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
et l'on en conclut, pour l'équation aux différences partielles,
/, dz y- d^z /, dz \f dz \ d^z f dz \«
Lorsque le plan directeur est le plan des yz^ il faut supposer
è =: o, c = o, et l'on a simplement -j-^ = o; résultat évident a
priori, l'élimination de a donnant pour z un binôme du premier degré en y.
Ce sont enfin les surfaces résiliées dont la génératrice a pour équations
qui serviront d'exemple d'élimination de trois fonctions arbitraires. Or, ayant dans ce cas
les équations (5) et (G) de la page 5o3 donnent sur-le-champ
dx^ a' d.r dy t. dy* "" '
^/j^' a^ dx' dy a- dx dy^ a ' ^^* "" »
de sorte qu'en faisant pour un instant
~~ dxdy ~^\ ' drtfy) dx^ dj^
d^z dxi
Téquation aux différences partielles du troisième ordre sera
dx^ dx* dy dx dy^ dy^
IV. La considération des surfaces enveloppes, où s'offre un mode de génération entièrement différent des précédents, conduit en Analyse à définir une fonction z de :r et j^ par deux équations contenant un paramètre variable a et dont l'une est la dérivée de l'autre par rapport à ce paramètre. En désignant de nouveau
