ÉLIMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES. SOQ
par A, B, . . ., L, n fonctions arbitraires de a, ces conditions s'expriment ainsi :
(i) fi^^y- z, a, A, H, ..., L) = o,
el nous nous proposerons encore de former, entre la fonction et les variables indépendantes, une équation aux diflerences partielles qui subsiste quelles que soient ces fonctions.
A cet effet, je conçois que x el y soient déterminés par les équations (i) et (2) en fonction de 5, de manière à avoir toujours les relations obtenues page 5o3
dz , dz , dx dy^
dz ^ dz j, d^z ,, diz , , d*z ,.
dx dy^ dx^ dxdy -^ dy^^ '
dx mais je procéderai différemment pour calculer les dérivées .r'= -j-9
y =L^-^y . . ., en mettant à profit une circonstance importante qui s'offre lorsqu'on veut tirer de ces équations les dérivées partielles -T- et ^ • Différentiant pour cela la première par rapport à x, en supposant a fonction de x^y^ 5, il vient
dx dz dx d% dx ~" *
ou simplement, d'après Téquation (2),
dj^dldj^^^ dx dz dx '
et Ton obtiendrait de même
dy dz dy
Or nous n'avons plus dans ces relations les dérivées des fonctions arbitraires par rapport au paramètre, et nous en tirerons les quantités cherchées x'^y^ . . ., exprimées au moyen seulement de
5lO OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
A, B, ..., L, en observant que -r-y par exemple, étant une fonction entièrement déterminée de x et y, que j'appellerai pour un moment 8(^7, y), on aura
dz ''
d'oii r
on voit
qu
'on devra écrire
d^z , -dxr^
dz
dx dy
et pareillement
it)
d^z , d^ , dx dy ^ dy* ^ '
D'après cela, en représentant les dérivées partielles du premier et du second ordre par />, y, r, 5, t, afin d'abréger l'écriture, nous aurons, pour déterminer x' et y, ces deux équations
dx'* dx dy "^ dx dz
I d*f , d*f , d*f\ df ^ ,
H-( , • X -r- , • y -f- -74 ]p ^- -T-(rx' -\-sy)= o, \ d.r dz dy dz ^ dz* J^ dz -^ '
d\f , iPJ , it^f dx dy ^ "^ dy* ^ "^ dy dz
l d*f , d*f , d*r\ df , , ^ ,^
\d.rdz dydz-^ dz^ / ^ dz^ -^ ' '
et il est clair qu'en continuant de diflerentier par rapport à z^ on formera de proche en proche les dérivées de x et y jusqu'à un ordre quelconque /* — 1, avec cette circonstance que les dérivées partielles de z jusqu'à Tordre /* seront introduites dans leurs expressions. Il en résulte qu'en les substituant dans les relations (4), (5), (6), . . ., de la page 5o3, on sera conduit à un système de Il équations entre ces dérivées partielles et les quantités a, A> H, . . ., L. Nous pouvons donc, en y joignant celles-ci,
df df df ^ df
dy dz ' d) dz ^
d^f df dxdzP dz''
d'- f d^f df dx dy dx dz ' dz
d\f dr dy
dydz'^ dz
dyf du df
c/v» ' drdz'f dz'
d\f dxdz,
d^f -dz^P
d^f d^f dvdz dz^^
éLIMINATION DES PONCTIONS AftBITftAIRES. 5ll
effectuer réliminalion du paramèlre el de n fonctions arbitraires; c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre /i.
Nous allons en faire l'application à deux exemples tirés de la Géométrie, après avoir remarqué que les équations ci-dessus, en x' et ^, jointes à la relation (4) de la page 5o3, savoir
pr'-r-qy- i^o,
donnent, par l'élimination de x et y\ la condition A =: o, A étant le déterminant du svstème suivant
Mais si l'on ajoute aux termes de la première et de la deuxième ligne horizontale ceux de la troisième, multipliés d'abord par p et ensuite par q^ on aura plus simplement
en posant
. d^f d'f d*f .^df
^^= d^^ "dTTzP- -d^ P'^dl'^
d^f d^f d^f d^'f df
dx dy dydz'^ dx dz^ dz- '^^ dz
d\f d>f d\f , df ^
^= dpi ^'dfdz'i-'- d^'^^Tz''
V. Nous considérerons en premier lien les surfaces déicloppables, enveloppes des positions d*un plan mobile
Z -r- aJF -r- \y -«- B = o,
et nous aurons immédiatement
t,K, = r, ni. = *, 3 = / ;
d'où, par conséquent, Féquation aux diil'érences partielles du
second ordre
s-^ rt = o.
5ia OBUVRES DE CHARLES HERMITE.
Soient, en second lieu, les surfaces canaux, enveloppes des positions d'une sphère de rayon constant
dont le centre décrit une courbe quelconque. On obtient alors
et le paramètre ol s^élîmine au moven des relations
qui donnent^ en substituant dans Téquation de la sphère^
On obtient ainsi féquation aux différences partielles du second ordre
a*{ s^ — rt) — <tU I — y* »r — îpqs -4-' i —/?*)/ | y i — p*^- q*
La relation générale dont nous venons de faire usage^ à savoir
peut encore se démontrer très facilement comme il suit- Je reprends, à cet eflet, les deux équations
^( JT. ^K, Sf 1) = O,
'bi Xy y. 5. a •= o.
ptjur les différenlier successivement par rapport à jr et^, en supposant tjue le paramètre variable tiré Je Tune d'elles en fonction de X, V. G, ait été substitué Jans l'autre. On obtieut ainsi
</ç (io tirs (l'x t/ç; c/o d^ chi
dx dz dx djr ~ ' dv dz ^ d% dy ~ '
d^^dif 'f^:^ :^^ d^ dx
ttx dz ^ dx dx ~ ' dv ds ^ dx dy ~ ^ ^
CLIMIXATIO?! DES P05CT105S ABBITBAlBCi. Sf)
et en remarquant qae le délerminant
dtdi T%dP^
di, dx di, dy \
s*é%'anoiiit, nous en concluons la relation suivante :
^dz * ^
dx di^ dv dz"^
^ ^— il ^— '*
dx dz^ dr dz"^
CeU p>*é- prenons en ph^rti^ulier
df df
dx di'^
on en tirera issst-iiateseal
d-z, dz t' ' -^ ' /= ^ é^
d^-d^^^ir^-^irTz^-iP^^-ii^^^
dz dz ^ T* rf'^
" TTIt " i/ iz " ^ ITTz - "^ ir r* '^ ^ 1z
dy s^' £»' Il r-î - t^ ' fii
et, I .*r "SiL v- . 1 -r r ui -I -. i • a**^^,ti*tït
î. -• » i I ff i •'. t 1=1
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5l4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
L'élimination des fonctions arbitraires s'efl'ecluera par la même méthode que précédemment, et donnera pour résultat une équation aux différences partielles d'ordre n. La même conclusion s'obtiendra aussi en considérant les relations
f{x,y, z, w, a, p, A, B, ..., L)=o, ^i = ®» ik ^ ^''
mais elle n'a plus lieu si l'on pose seulement deux équations avec un seul paramètre variable, savoir
<p(ar,^, z, u, a, A, B, ..., L)=o, '^{x.y, «, a, a, A, B, ..., L)=o,
car alors on peut former une équation aux différences partielles d'ordre /i, représentant le résultat de l'élimination d'un nombre de fondions arbiliaires supérieur à n et égal à {n{n 4- i )• Et quand le nombre des quantités A, B, . . ., L n'est point compris dans cette formule, par exemple lorsqu'on le prend égal à quatre, de sorte qu'on ne puisse pas obtenir une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre, on parviendra, en introduisant les dérivées du troisième ordre, a plusieurs relations distinctes au lieu d'une seule. C'est là une circonstance que présente souvent l'élimination des fonctions arbilraires, et je vais en donner un exemple en considérant l'expression
• où Fi(£/) et F2(i^) sont deux fonctions arbitraires de u eiv^ qui sont des fonctions détern.inées de x et j . Qu'on forme, en efl'et, les dérivées partielles du premier et du deuxième ordre de 5, on obtiendra six équations où entrent les quantités
F, (M), Fir II), ¥\{n).
"PtK^h ^tK^h FU^),
dont l'élimination ne seia |^as possible, en général. Mais, en s'élevant aux dérivées partielles du troisième ordre, on ajoute quatre équations en introduisant seulement deux nouvelles quantités F^'(w), Fy(£/), de sorte qu'il deviendra possible de former autant d'équations du troisième ordre qu'il y a de manières d'éliminer buit inconnues entre dix équations. On doit donc avoir en
