XI
THEORIE DES EQUATIONS MODULAIItKS. 6j
fn faisant w* = ^ ( » ). Les quanlilcs A, qui répondenl dans les deux cas aux valeurs de n pour lesquelles on possède Téquallon modu- Uiiv, sont indiquées dans ce Tableau :
n. A = 1 (mod 4).
Il i3, 21
lî I, 17, 'ij
17 9, ij, 3i
On y remarque que n = 11 conduit à trois déterminants = 3 (mod 4)? auxquels correspondent seulement deux classes dans l'ordre primitif, le déterminant — 18 fournissant en outre une classe dérivée de (i, o, 2). Ce cas donnera donc les polynômes F2<jr. A) pour les valeurs A = 2, 6, 18, 22, et nous le choisirons comme exemple de la marche qu'on peut suivre dans ce genre do calcul.
J'observe à cet eflet qu'en disposant dans un ordre convenable les termes de Tcqualion donnée par M. Sohnke, on peut l'écrire
-^ 4i"'t*Vr^ — «*^)-H 3 2r»»t'»« - - 22 wH'3( i>« -h a» ) -f- 88 m» r'^ — 1 32 w' r' — 1 32 a* r* — 88 m' i^' -h 22 tw ( r' -+- ie« ) — 32 itv = o. .
'»u bien, en mettant en évidence le facteur r* — n\
, t V ||i , ( fi ^ ,^9 | ^^ ,^6 çB ^ , (\{\ 11^ ,,4 ^ ^ j ni j,î )
— 1 32 w* iJ* — 88 a' i'5 -+- 22 MiJ ( t^* -h a» ) — 32 i/r = o.
' j L^ système
eci». M) — o, V = -
•li.on*- aussi une équation en j: dont \c premier membre est le produit de facteurs j-n ^rit tous de la f<>rme F, (or, A) ou l\{Xj A). Le premier casa lieu lorsque le B'.ru^r»- /ï, <|ui désigne l'ordre de la transformation à la([uellc se rapporte l'équa- II .n ni'>dul;4ire. est ■- j. i (mod '|), et alors
: 'ijrit imp;iir. Si nr^ — \ (mod /j ), oe sont les facteurs l\(x, A) qui se présenteni, Artanl encore- /t — p', mais p devant «Mre supposé pair. H. — II.
OC) CIEL' vu ES DK TIIAKLKS IIERMITE.
Or en (iusanl //c = «r, la relation
r* -h I OU
u^ r* 4- «^ -}- ( '♦ — I = o, donne
de sorte qu'on peut immédiatement déduire de l'équation modulaire une relation eontenant seulement (v, savoir :
-~ lOilM <»'*" -H I I tr* -t- •>.2«"'' — 2*2 il'* — 1 ! ««•- — I) = o.
Or, en faisant disparaître le radical on parvient à une équation réciproque eu ir-, ce qui conduit à poser
et l'on trouve ainsi ou
Maintenant uous observerons (|u'en faisant //* = x, on a
— \ —\/t ^ . \ Cj^-+- !)«
\-r-yJx "'* v^r(^ — 1)
Ainsi Texpressiou — '■ dont il a été déjà parlé comme en-
trant essentiellement dans la composition des équations que nous Nouions obtenir, se présente ici d'elle-même, et, puisque
«r* la quantité a sera liée à z par cette relation très simple
at=-(5«-4)*.
THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. 67
li en résulte que Tcquation en x est le produit des facleiirs sui- \,ints :
kj: -t- I)* — i^r{x — I)*, [ix -h 1)* — 3». i^x{x — 1)«]>,
If dernier, qui répond à la valeur la plus élevée de A, étant le seul qui n'enlre pas au carré, car
{x -k- i)^ -- '>>x(x— 1)* = (>î — 6ar-i-i)».
tl, comme ils sont écrits en suivant l'ordre des valeurs croissantes lie la quantité a, ils correspondent respectivement à A = 2,6, i8, 22, puisque, abstraction faite du signe, a augmente avec A d'après la relation
lOa = — (e^v'3^-+- loi -!-...).
Ix polynôme ^i{jr^ A), dans le cas le plus simple où l'on a A=-, s'ohtient immédiatement par les équations fondamentales
en «supposant r = //, et supprimant dans le résultat le facteur x. On trouve ainsi Téquation
iGor* — 3i X -- ifi = o.
Pour les \aleurs suivantes de A, le calcul devient plus difficile, et cV>i m recourant à des méthodes particulières que le P. Joubert, ddn*' un travail important sur le discriminant des équations en
{ =(M' et \ = (Tr\
4 réu>»i a obtenir ces polynômes pour A = i5, 23, 3i. Je me bornerai H donner l'idée de ces procédés et des méthodes variées qu'on fi^ul suivre dans ces recherches en considérant le cas de A = 1 3.
68 CeUVHES DK CHARLES HfiRMlTB.
Alors on a, dans Tordre improprement primitif, deux formes conduisant aux équations tjpes
et, si Ton fait pour un instant
(î, I, 4) = 0 ou 2 tO» -r- W -i- A = O Cl Ç = ?*(««>) ^t** (w ),
on trouvera très aisément Téquation en Ç, en remarquant qu^on peut écrire
d'où
et, par suite, en élevant à la puissance quatrième,
•.». 4'* ( w ) ~" n- o* ( to / Comme on a d^lilIeurs
on trouvera
ce qui donne
Le facteur du second degré convicMil seul, cl Ton en lire l'équation en .r, en reinanjuant (prou doit supposer
de sorte qu'on aura
et, par suile,
'i^(x — !)*-+- f^.fi'xix — I)* -l-.r- = o.
(]eUe équation, conformément à ce qu'on a dit en g;énéral, a pour coefHcienl de .r* une puissance de 2, et la forme particulière sous la(|uelle elle se présente permettra d'en déduire très facilement la transformée, qui correspond à l'ordre proprement pri-
milif (•), savoir :
{X — l)* -t- 2*. 4737(37 — l)î -h 'JL^^X* = 0,
a de vérifier ainsi que dans celle Iransformée le coefficient de la puissance de x redevient égal à l'unité.
xir.
Nous possédons maintenant tous les éléments qui figurent dans le «iisrriminanl de l'équation modulaire du i?/ degré, qui sont les f^clpurs relatifs à l'ordre improprement primitif de déterminant — 7, et à Tordre primitif de déterminant — 24. Le premier, comme i*n vient de le trouver, est 16^- — 3i a: -{- 16, Le second doit être tiré de Téquation
fx -H I)*— 3*.9}x(x— i)« = 0,
(|ui correspond au déterminant — 6, en y remplaçant a: par
el faisant disparaître y/x par l'élévation au carré. On trouve ainsi l'expression
j-^ — 3i)i cjfnyx' -h *i Yh) \ç)'ix^ — 2 178 232 a:* — 1 092 o'iGx*
— 2 178 2'i2x3 -h 'i 5 )0 492372 — 3oi 960 j* -f- I = o;
tf qui conduit au résultat déjà donné, et qu'il eût été bien diffi-
• ile. comme on voit, de tirer algébriquement de Téquation nioduliirr. Il ne me reste plus, pour terminer celte partie de mes rc-
* li»'n:lM»>, qu'à indiquer un moyen de le vérifier, ce (jui sera Tobjet <i un pr.>rliain article.
Lfi drsj^iiant [)ar l) le produit don carrés des difiérenccs des li' in**'» «le l'équation modulaire H(i\ u) = o de degré n -\- i , lors-
) Vmv^-jc Comptes rendux, t. XLVIII, p. kkjS cl J^ Vil du f)r('S(iil Mrmoirc.
qu'on suppose n un nombre premier, faisons, pour un instant.
Cetle expression sera non seulement rationnelle et entière en //, puisque D est un carré parfait, mais les coefficients des diverses puissances de u seront eux-mêmes dos nombres entiers. Or, en remplaçant ces puissances par leurs expressions [sous forme de séries infinies en fonction de ^r = e'^*«», on parvient à un résultat dont la valeur, par rapport au module premier /i, s'obtient comme il suit.
Faisons
et, par conséquent,
on aura cette congruence
(0 ^ •>-"^(/iv/7)~*"[/(7)H-8t7/V/)]~ [/(^)- (J) ç'^Ar') I n^oJ«»
dans laquelle le coefficient de la puissance la moins élevée de q a été conservé sans addition ni suppression de multiples de /ï, ce qui permet de déleruiiner le facteur numérique qui doit être joint aux divers polynômes en w, que maintenant nous connaissons dans 1rs cas de n = ',\, 5, 7, 11, afin d'obtenir précisément la valeur de (0. Ce facteur, comme on voit, est toujours une puissance de 2; ainsi, dans le cas de /? = 1 1 , on aura
(0 T= >.î6«6(i,4H)S(,o :{, ,^8 u,fHtt«)(i — 3oi 960 «I» -4-...).
On pourrait aussi présenter le second membre de la congruence précédente sous cette autre forme
mais c'est la première (ju'il convient d'employer pour vérifier,
T 11 EO n I K I» ES EQUATIONS M O D U I. A I R K S . 7 I
^-ùiHiue uous Favons annoncé, le discriminant de Téqnalion modulaire du douzième degré. Je remarque à col. cHct que le polynôme
I — 3oi 960 w« -T- 3 5ÎG 40'^.w*° -^. . .
^ réduil suivant le module i i à cette expression simple
et qu'on trou\era par suite
