i-r-:W«»— 3l42* — 3/««i -T- f/VO !...) (,„o(I n
Maintenant, si l'on met à la place des diverses puissances de u leurs dé\eloppemenls en fondions de y, il viendra
V^ __ 1,/iïv qf {\ — '?q -T- \q^ -r- 3y3 -}- 47^-^ ^7* "H. . .)•
Or, c'est précisément le résultat auquel conduit la congruence, en faisant les développeuients indiqués, d'oii résulte la vérification que nous désirions obtenir.
C'/est à ce point que je me suis arrêté jusqu'ici dans l'élude des rqiiations modulaires, et il ne m<» reste plus, on considérant on fMrticiilier celles du sixième, du huitième el du <louzième degrc'*, qu'à donner la méthode (pie j'ai suivie pour on déduire dos réduites «l'iin tlt'^rv iiioin<lre d'une unité. Galois, ain?»i que je l'ai déjà dit III roinincncement <le ces recherches, a le premier découvert lo fait si reriiarqiiahle de cette réduction, au douhlo |)oint de vue i\v \a théorio des fonctions elliptiques et de T VIgèhre, et voici, dans ><•% idée.s, le théorème qui sert de principe fondamental.
Reiiiarqiions préalablement que los racines de l'équation modtiiiiirr sont représentées par
i- = //" [ï^in coani^p si 11 coam îp. . . sin voau\( n — 1 ) > |i
fh fdi>ant
OÙ m et m' sont deux nombres enliers qu'on peut multiplier par un même facteur sans changer la valeur de v. lien résulte que c'est uniquement le rapport — - qui défînit chaque racine, et, comme les deux termes sont pris suivant le module /i, il reçoit d'une part la valeur x pour m ^ o, et de l'autre la série des n nombres entiers o, I, î>., ..., n — I. On est donc conduit naturellement, pour représenter les racines de l'équation modulaire, à la notation Vky /i désignant — et devant représenter les /i -f- 1 valeurs 00,0, 1, :4, . . ., n — I . Cela posé, voici la proposition de Galois :
Toute fonction rationnelle non symétrique des racines Vk qui ne change pas en reniplaraiU les divers indices k par
—, jf a, b. c, d étant des nombres entiers pris suivant le nia-
du le n et le déterminant ad — cb n étant pas ^o (*), sera exprimable en fonction rationnelle de u (•*).
J'ajouterai la remarque que ce théorème subsiste en particularisant la substitution -7 — -3, de manière que ad — bc soit résidu (|ua(h^atique de //, pourvu qu'on s'adjoigne le radical
Tel est, par exemple, le produit des dilFérences des racines ïl{vf( — i*A'), qui change de signe ou se reproduit exactement,
lorsqu'en remplaçant /' par —^ .y ad — bc est non résidu ou résidu quadratique de //, et qui s'exprime, comme on l'a vu au paragra|)lie Xlll, par une fonction rationnelle de u a coefficients entiers, mais affectée du facteur
vA
Kn rlleU nommjint V et V les deux \aleurs (|ue peut prendre une
(•) M. SriToi a fait des siibslilulions <lc rrUc fornio l'objet de ses recherriies dans plusieurs ailicles publiés dans los (^omptos renfiitSy t. XLVIÎI, si^anccs des 10, I-, vi »| janvier i >».);).
(-) L'iir dcnioiisi ration de ce. liiôorriiu' important a étô donnée par le I*. Joubcrl dans un tra\ail cpH* j'ai déjà <Mlé {(^oni/ties rem/us, t. XLVl, p. 718).
THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. 78
fuorlion rationnelle des racines invariable par les substitutions où ad — bc est résidu, les deux expressions F -h F', =r- — — resteront invariables pour la totalité des substitutions, et s'exprimeront rationnellement en u^ d'après la proposition de Galois; il en résulte que F et F' s'exprimeront elles-mêmes sous la forme an- Doncée.
Ce point essentiel établi, la question de l'abaissement des équations modulaires à un degré moindre d'une unité dépend d'une
étude plus approfondie des substitutions , .> et dont quelques
Inces seulement subsistent dans ce qui nous a été conservé des travaux de Galois. C'est en suivant la voie qu'elles indiquent que M. Belli a retrouvé Timportante proposition relative aux équations tiu sixi«fme« du huitième et du douzième degré, et l'extrait suivant dune Lettre que m'a fait Thonneur de m'adresser ce savant géomHre montrera comment de cette manière se présentent les résullJl> auxquels de mon coté je parvenais par une méthode toute dilîérente :
« Pise, 24 mars iSjq.
• Dans un Mémoire Sopra Vabassanicnto delV equazioni moduliri, publié en iS'i-^ dans les Annali di TorloUni, j'ai fait r/*lnde des substitution»
ak -H b ck'—d'
[rtHir démontrer la possibilité de l'abaissement des équations mo- •JuUire?. et j'di obtenu les résultats que \ous me communiquez ■i-«n«» \otre Lettre.
\ oiri pour le module [iremier n =^ \p -^Z les expressions '\n'' j'hÏ tr*Mi\ée> alors pour la décomposition en n groupes du jr»ijpf i|f»nt toutes les substitutions sont données par la forme (i ) .,,. //./ — Ih: e*t résidu de //.
>î i' #-.1 un*' racine primiti\e de n. jouissant de cette pro- \''.\' \*' qii«*. 11 — I éi;int ré>idu de n. les puissances impaires <C/* — 2 i- - \»Tih«'iit \a < oni'rn#-ne<'
74 (KL'VHES DE CHARLES IIERMITE.
(ce qui n'arrive i\iw pour /i =i -, i i), on aura, si l'on fail
un jçroupe [/r, 0( A )] de ; subslitutions de la forme (i)
telles, qu'en faisant sur ce {groupe les suhslilulions (/', A* -f- ') on obtient n groupes, dont Fensenible est le groupe proposé.
» Or si /? = ^ on a deux racines primitives ^ == 3, xr = 5 ; 5 — i est rcsi<iu de 7 et les <leux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5, ;V* \ériricnt la congruence
( 2 J-* 4- •>. .r — I ) ( i U7» -+- X - ;- I V = o ( mod 7 ).
» Donc, lorsque n = 'j, on a deux systèmes de valeurs pour ^(Â), à savoir :
en prenant ^ = .'>, et
c / / , A -h\h A -i- b , — fi
' A -\- ô A \-'ib A
en prenant ^ = 5, (f cl h désignant des résidus de 7.
)> Si /i = 1 1 , on a quatre racines primitives : !>., (i, 7, 8; 2 — 1 est résidu de i 1 et les puissances de >, impair<>s et inférieures à (), vérifient la cf)ngruence
(.\T' — 6.r -:-!)( /\X' — '\.t' - I) — 0 ( inod 1 1 ».
De mcme, () — 1 <»st résiilu de 1 1 et les |)uissances de 6 impaires et infi'ricures à () vérifient la congruence
(3.r« -h >.J™ -;- i)( 3.r* -\.r-r-i). o (niodii).
» Or, si Ton prend *»■ :=iz •>., ft et h rési<lus de 1 i , on aura
et, si Ton prend *^ = G,
<2, , , /—(*>/ Ah , —a
THEORIE DES EOL'ATIONS MODULAIRES. Jl
" Lrs racines primitives - el 8 ne jouissent pas de la propriété «ie ren«lre g — i résidu de 1 1, et la congruencc lorsqu'on y fait ;? = 7, 8 n'est pas satisfaite par les puissances de 7 et 8 inipain>s et inférieures à 9.
• Les substitutions 0(Â), S(/i") jouissent de la [)ro|)riété d'être à Irtlres conjointes, c'est-à-dire <|u'en divisant l<*s lettres en s^stt^nies de deux lettres chacune de la manière suivante :
♦*o»^«» t^iç-'^V» ^e'^s'i --M t'ir'^^V*-^'» •••,
toute substitution ^(A), 3(A*), ou échange entre elles les lettres «l'un svslènie, ou change un système dans un autre.
•• Dans le cas de n = 5 j'avais obtenu des n'îsultals semblables aux précédents et formé un groupe de douze permutations en considérant les trois substitutions
ri celles qu'on en déduit en les composant entn* elles »
C'est sous un point de vue bien dillerent que je vais maintenant traiter les mêmes <|uestions. Ainsi, laissant <le côté toute considération relative aux déconq>ositions de groupes, je déiinis, a priori, p»ur /i = 5, 7", I I, les racines z des étpiations réduites du cinquième, du septième et du onzième degré, de cette manière, savoir :
« = 7, Zi z^i r« — Vi){yx-hi — 1-5-+-/ j f i'a-»-/ — i'3-f-i M *'i ♦-/ " ^'e*-/ )»
/l — II, Zi =^(Vm —Vi)(^'l^i - M-hl)(i'i4-/ — ^'8-4-l)(i';i-H — ^'6-4-/)
l*»- indii-es / «levant être pris respectivement suivant le module n. ï)r la sorte on obtient trois systèmes de n fon<!tions rationnelles •J»-* r.irinf' s i', et je vérifie <pie les quantités qu'ils conq>rennent ne f'-nt qiir •iV'rhanger entre elles lorsqu'on fait respectivement ces
74 (KtVnES DE CHARLES HERMITE.
(ce qui n'arrive que pour /i = -, i i), on aura, si Ton fait
un «roupe [A*, 6 (A)] de ; substitutions de la forme (i)
telles, qu'en faisant sur ce groupe les substitutions (/*, A* + ') on obtient n groupes, dont Tenseinble est le groupe proposé.
» Or si /? = 7 on a deux racines primitives ^ = 3, i' = 5 ; 5 — i est résidu de 7 et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5, ,V \érifientla congruence
( •>, x» -+- •> r -f- 1 ) ( 4 JT* -f- »r -:- I ) ^ o ( mod 7 ).
» Donc, lorsque n=z'j^ on a deux systèmes de \aleurs pour
fi (A), à savoir :
A / / A — \h k — b , — rt
0 ( /i ) -^ a —. 7- , — a -7 TTî ♦ ^A-, — j—
k ~ b k — ib k
en prenant <:[ = ,'J, et
Or / / X k-hib k -^ b . —a
en prenant^ = 5, a et b désignant des résidus de 7.
» Si n = 1 1 , on a quatre racines primitives : s*, G, 7, 8 ; 2 — 1 est résidu de i 1 et les puissances iU' •>., impaires et inférieures à 9, vérifient la congruence
(4^' — 6.r ;-i)(4^*î — ij-i) : 0 ^modii).
D<î niéuie, () — I est résidu de 1 i et les puissances <le 6 impaires et inférieures à <) vériiienl la congruence
(3.r* -4- 7.J™ -r- I) ( "i-r* -- I j* -f- I) L o (mot! M). » Or, si Ton prend g = :>., (t et 6 résidus de i i , on aura
il{k):= ri -. j- , — a , 7 > (tk. —, — >
et, si Ton prend *^ = G,
THEORIE DES EQUATIONS MODULAIHES. 7i
• Lfs racines primitives 7 et 8 ne jouissent pas de la propriété iie renJre g" — i résidu de 11, et la congruence lorsqu'on y fait <r= 7. 8 n'est pas satisfaite par les puissances de 7 et 8 impaires et inférieures à 9.
■> Les substitutions O(A'), S(/r) jouissent de la propriété d'être à lettres conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant les lellres en s^sifMiies de deux lettres chacune de la manière suivante :
i*o*'«» ^'^^V' *Wî •••1 V**V»^'» •••.
loute substitution ^(A), 3(A'), ou échange entre elles les lettres d'un système, ou change un système dans un autre.
" Dans le cas de n = 3 j'avais obtenu des n'sullals semhlahles 4u\ pn-cé^lents et formé un groupe de douze permulalions en considérant les trois substitutions
ri relies qu'un en déduit en les composant entn* elles »
Cest sous un point de vue hieii diil'érent (pie je \ais maintenant iTjilcr les in^^nies <[ucslions. Ainsi, laissant de côté toute consi<léralion relative aux décompositions de groupes, j<î définis, a priori, [HHjr /! = .*>,'", Il, les ra(*ines z des é<piations réduites du cin- <]uiéme^ du s«?[>lièine et du onzième degré, de celte manière, savoir :
/I — I I , ^^ ^z (V. — (•/) (i'i.4./ -- t'î+-/)(i'VH/ — i'8-4/)(t'3f / t'6-4-/)
( Vfi ^i -■ i'7.^ / ) ( Tj-H/ — l',o-H/ ),
!♦•- indires £ élevant être pris res[)ectivemenl sui\ant le module n. \h' U >orte 4>n obtient trois systèmes de // fou4:tions ralionntdies Jrs r.icin«*s i- , et je vérifie que les (piantilés «pi'ils comprennent ne foDt qiH* •i'éo ha nger entre elles lors(proii fait respectivement (*es
74 (lEU vu ES DE CHARLES II ERMITE.
(ce qui n'arrive (|iie pour /i =z -, i i), on aura, si Ton fait
un «groupe [A*, 6 (A)] de ; — — substilutions de la forme (i)
telles, qu'en faisant sur ce groupe les substitutions (A*, A" -f- ') on obtient n groupes, dont l'ensemble est le groupe proposé.
» Or si /« = -j on a deux racines primitives ^ = 3, i' = 5 ; 5 — i est résidu de 7 et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5, 5* \érinentla congruence
( Jt J-* -+- -> .r -M ) ( 4 X* -f- j™ -I- 1 ) -- o ( mod 7 ).
» Donc, lorsque /i = j, on a deux systèmes de valeurs pour
^(A), à savoir :
0 ( /i ) — rt — 7- , — a -7 -7 ♦ ak, —f—
k -- 0 k — Sb k
en prenant *:[ = ,'J, et
en prenant^ = 5, n et b désignant des résidus de 7.
)> Si n = 1 1 , on a quatre racines primitives : •>., (i, 7, 8 ; 2 — 1 est résidu de i 1 et les puissances de >., impaires <;t inférieures à c), vérifient la congruence
( 4 X- — 6 .r — I ) ( 4 x^ — '\x - I ) — 0 ( iiiod H).
J)e même, (i — 1 est résidu de 1 1 et les puissances de 6 impaires et inférieures à () vérifient la congruence
(Zx^-\- }.x -r- Dc^j-* -:- \x -^\) - i\ (mot! M).
» Or, si Ton |)rend g = v-, d et b résidus de 11, on aura
Q{k)r== a — , — a , -r , ak, -7— ,
el, si Ton prend ^^ = f),
THEORIK DES EQUATIONS MODULAIRES. JJ
•^ I-f> racines primitives ^ et 8 ne jouissent pas de la pro|)riélé »ïe rendre ff — i résidu de ii, et la congruence lorsqu'on y fait ^ = 7- 8 n'est pas satisfaite par les puissances de 7 et S impaires et inférieures à 9.
• Les substitutions Q(A'), 3{/k) jouissent de la propriété d'éln? à Mtres conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant l<;s lettres en syslênies de deux lettres chacune de la manière suivante :
«'0^-1 *W' ^V'*'*'^ • • • » t?^,»*tV-^., . . . ,
toute substitution ^(A), 2r(A), ou échange entre elles les lettres d'un système, ou change un système dans un autre.
• Dans le cas de /i = 5 j'avais obtenu des résultats scmhlables àu\ prt'cédents et formé un groupe de douze peruiutalions en con- >idénint les trois substitutions
t-l relies qu*on en déduit en les composant entn* elles »
C'est sous un point de vue bien diiVérenl que je vais maintenant traiter les mêmes questions. Ainsi, laissant de côté toute considération relative aux décompositions de grou|)es, je définis, a priori, [HMjr /ï = ,"*, 7, II, les racines :; des équations réduites du cinquième^ du septième et du onzième degré, de celle manière, savoir :
n — 7, Zi = (v» — Vi){Vx^i — Vi^i) {K't-^i — i'a.,./ ) (i'i^/ — t's-w ),
n — I I , iî/ == ( i*ao Vi) ( i'l-4-l -- i'î + l) ( **4-l-/ — *'8-+-/ ) (t'3-f / t'6-f-/ )
le* indices i devant être pris respe(!tivemenl suivant le module n. lif \d Mirte on obtient trois systèmes de // fouettions rationnelles ii'^ nicines i', et je vérifie que les quantités ([u'ils conq)rennenl ne font que •%■ échanger entre elles lorscpi'on fait respectivement ces
74 (leUVItES DE CHARLES lIERlflTE.
(co qui irarrive (|in* pour /i = j, i i), on aura, si Ton fait
iù-hi
un t^^roupe [A*, 0(A)] de ; substilulioiis de la forme (i)
telles, qu'en faisant sur ee <;roupe les substitutions (A-, Â* -f- /) on obtient n groupes, dont Fensenible est le groupe proposé.
» Or si // = ^ on a deux raeines primitives ^ = 3, i' = 5 ; 5 — i est rrsidu de 7 et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, c'est-à-dire 5, 5'' \ériiient la congruence
(2X* -h *>..r -î- I) ( i j?»-t- j^ -^ 1) ^ o (mod 7).
» Donc, lorsque /« = 7, on a deux systèmes de valeurs pour O(A'), à savoir :
0 ( A ) -- a -. — , — a -. -7 . iik, — i—
en prenant *^ =. .'i, et
^ , , k -h'>.b k -^ b , — ti
en prenant ff=o^ a et b désignant des résidus de 7.
» Si /i = I I, on a quatre racines |)rimitives : '>.,(), 7, 8; 2 — i est résidu de 1 1 et les puissances de ■>., im|nures et inférieures à 9, vérifient la congruencc;
( î.rî — 6.r H- I ) ( \x'^ — Lr I ) 0 ( mod 1 1 ).
I)«' même, (i — 1 est résidu de 1 1 el les puissan(*es de 6 impaires et iufi-ritîures à () vé;ri(i<înt la congruenc<*
n.r^ -f- fx ~r- i;n.rî -r- ÎJ- — ij . o (mod 11). » Or, si Ton j)rend {^^ = :>., d el h résidus de 11, on aura
0 ( A ) -= rf -■ — , — a , 7- , «A . — i— ,
et, si Ton |)rend :^ = (),
:3{k) -. a . — , — a -, --7 > nk. —,— •
THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. J)
• I-rs racines primitives - et 8 ne jouissent pas de la pro|)riélé d«» rendre g — i résidu de 1 1, et la congruence lorsqu'on y fait ^= -. 8 n'est pas satisfaite par les puissances de •; et 8 impaires el inférieures à 9,
> Les substitutions 0( A), S(A*) jouissent de la propriété d'éln» à iHtres conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant les lettres en sjs- Cf-ines de deux lettres chacune de la manière suivante :
i'o»^-, ^ViV, V V» • • • 1 ^'ér^^V+S • • • ,
toute substitution ^(A), 2r(A*), ou échange enire elles les lettres «l'un svslèiiie, ou change un système dans un autre.
•• Dans le cas de n = 5 j'avais obtenu des résnllals semhlaliles aui. pn*cédcnts et formé un groupe de douze perniulations en considérant les trois substitutions
ri celles qu'on en déduit en les composant entre elles »
C'est sous un point de vue bien diilerent que je vais maintenant iHiilerles niénies questions. Ainsi, laissant de coté toute considération relative aux décompositions de grou|)cs, je définis, a priori, [i*»ur n = 5, j, 1 I, les racines z des équations réduites du cinquième, du septième et du onzième degré, de cette manière, savoir :
n = 7, C/ = ( r. — V'/)(.fl-HI — t'5-4-/.) < t*2-4-/ — i'3-f /) (»'4-f-/ -.- t'6W ),
!*• indices / «levant être pris res|)e(*li veinent suivant le, module n. fv \^ <ftric i>n obtient trois systèmes de n fonctions ralionnelles '!♦-* r^rin^'S i% el je vérifie que les quantités (|u'ils comprennent ne f"Dl qui' s\*changer entre elles lorsqu'on fait respectivement ces
substitu lions
H en résulte, par des compositions successives, que ces systèmes demeurent invariables pour les substitutions ( ^ ) > où a est un résidu quadratique quelconque de /i. Maintenant il est visible qu'ils ne changent pas non plus lorsqu'on fait la substitution ( ^ j ; et si Ton vérifie encore qu'il en est de même à l'égard de celle-ci > on arrivera à cette conclusion qu'ils demeurent inva-
riables pour toutes les substitutions où l'on met, au lieu de k\ -r— — ',9 od — bc étant résidu de //. En effet, cette expression, dans
loutc sa généralité, s'obtient en composant entre elles celles que nous venons de considérer. Le théorème du paragraphe XIV suffit donc pour nous assurer que les équations réduites eus auront pour coefficients des fonctions rationnelles de f/, où ne figureront d'irrationnelles, suivant les cas, que les radicaux y/5, \! — 7, \l — i 1 .
Si Ton cherche maintenant les substitutions spéciales ( * ) qui laisseront invariable une seule des racines considérée isolément, wo par exemple, on trouvera aisément ces résultats, où a el b désignent des résidus quadratiques de /?, savoir :
n — 'ù 0(/ ) - a/, n— 7 0( X ) - ak.
//-—Il 0{ / ) - ak,
(iCsonl les cxijrossions auxcpiellesM. Belti est arri\éparune aulre
Noie, el (pii lornient eu général — substitutions conjugué(»s,
de s(»rU» qut* huiles les (|iianliles -^y .^ ou ad — bc est résidu qua-
k -i- h k -xb
THÉORIE DKS KQUATI0N8 MODULAIRES. ni
dratique de /i, peuvent être ainsi représentées :
l'étant un nombre entier pris suivant le module n,
Knfin. si Ton désigne par w^^/, ce que devient 3| lorsqu'on effectue snr les racines i' les substitutions que nous avons considérées, on lrou\era, pour /i = 5,
o(i)^aî-h ù= (ai -h b)^ -hCy
pour /i = 7;
ç(i) == ai-hb ^ — (a* -+- 6)» — 2fai -f-é)» -f- c,
pour n = I I ,
^(i) = ai-i-b= (ai-{- by -h 3(ai-T-by -+- c,
h H c étant des nombres entiers quelconques pris suivant le module /i, et a étant résidu quadratique, ce qui représente en général
'"^" "" ' substitutions distinctes.
Les équations du septième et du onzième degré présentant cette propriété que les fonctions non symétriques de leurs racines invariables par les substitutions ainsi définies ont une valeur rationnelle, constituent un ordre spécial d'irrationalité qui les distingue uetlement des équations les plus générales de ces degrés. Ce sont, Miivant l'expression rie M. Kronecker, des équations douées dV//*ft'ctionSf et qu'il sera sans doute possible de ramener analjtiquemenl à relb^s dont la théorie des fonctions analytiques a donné la prfiiilère notion. Mais, laissant de coté les belles et difficiles questions auxquelles conduit ce sujet, et que M. Kronecker a le pre-
iiii«r abordées, je me bornerai à faire voir que | '^'^ représente
l»ir-ii. en attribuant à la fonction ç/ toutes les valeurs, un système •!«• substitutions conjuguées. Posons en effet, pour un instant,
d»* sorte qu'on ait, pour'/i = j,
o(i) ^^ ai -r- b z. '/ ( ai -r- b) -h c;
^8 OKUVRKS DE CIIARLKS HCRMITE.
on \crific sans peine que
/JX(01-'* > mod 7,
a étant supposé résidu de 7. Et faisant de inéme, pour /i = 1 1,
/(/) — «"«-^Si^ on aura
7JX(**)|-'* ( mod II,
vA^vAn-^^l ^9«^*x(*-+-^)-^con8t. I
/7 étant résidu de 11.
Vinsi les fondions y (ai -{- b), comme les expressions plus simples ai -h b^ se reproduisent par la composition. De là résulte, pour les nombres premiers /i = -j, 11, Texistence de fonctions de
n lettres avant -r—-—r— — ' c'est-à-dire 3o et 60480 valeurs. Toutes ^m n- — I )
deux ont été rencontrées par M. Kronecker, qui a le premier publié [Comptes rendus des srances de l'A codé m te de Berlin, \>/x avril i858) le cas des fonctions de sept lettres, et fait à l'égard de la représentation analytique des substitutions ici employée ( * ) une observation pleine de justesse, montrant de quelle manière deux expressions algébriquement différentes peuvent cependant ne représenter que la même substitution, et par là réduisant à un seul et même ty[)e deux systèmes que j'avais d'abord considérés comme distincts. ( Voyez les Annali di Matemalica, année 1859, n"* 1 et Î2 et C. R\, Ù XLVl, p. 879).
(') Les expressions duns \v ras des substitutions de cinq lettres, savoir :
ont été donné<'s a>aiit moi par M. BcUi dans le tome II des Annales de Tortolini, p. 17. Pour le cas de Nepl lettres, vcjvcz les Annali di Afatentatica, année iSôg. n' 1.
TilKORIE IIES EQUATIONS MODULAinKS. 79
\j' ralciil dfvs équations réduites en z pour les trois valeurs de n Hiïf nous avons à considérer repose sur deux remarques : que l'on
|.HUl V remplacer d'une part a par eu ei z par e * c, £ étant une Mrine huili«»nie de l'unité; et de l'autre, u par - et ^ par
La |»reniîère, jointe à cette observation que le développement des racines en fonctions de q commence par
|ir»ii\e que les coeflicients sont des polynômes en //* contenant en teneur une certaine puissance de w, ainsi ces équations sont comp">ée> de termes de cette forme
5/»-V tiSL^(a -4- bu* -+- CU^^-r-. . .-r- hll*h)j
♦-1 lVx[K»sant «v SI' détermine en prenant la valeur positive de ■ê — (modS), qui est immédiatement su|)érieure à la quanti, V . La seconde remarque montre (lue les nolvnomes •in ' 11.
a -h bii^ -h cm'* -h. . .
-iDi rérinriKiucs, mais à cet é}»ard en distinguant des deux autres
j» fdî» de w = I I, à cause du facteur ( — i) * * , alors é<î;al à - I. l)/* Id résulte en eil'et que les [)olynomes facteurs des puisviiKf* [idires de z ont leurs coefficients é(|uidistants des extrêmes -jini\ et de sij^nes contraires, tandis que ceux qui an'eclent les l.iii^-anf*-* impaires ont, comme pour // = .), -, leurs coenicicnts ••-Hii\ #-i de même signe. On en tire d'ailleurs, dans tous les cas, i*" \ H leur d«* % sous celte forme
in -h I ) V — x 7.',
8o IKUVniCS DE CIIARLKS IIERMITE.
et si Ton observe enfin, ce qui est très facile à établir, que la quantité I — M* entre comme facteur dans le polynôme
avec un exposant (*) dont la limite inférieure est
on aura réuni tout ce qui est nécessaire pour pouvoir écrire a priori et sans calcul les équations réduites sous les formes suivantes, où D représente toujours le discriminant, savoir :
5» -f- ;5a wHi — w»)' — }/\i = o.
Le terme en z^ n'existe pas, parce qu'on obtient pour pi une valeur négative; les termes en z^ et z^ disparaissent parce que les coefficients doivent respectivement contenir en facteur i — m", (i — /**)', ce qui est en contradiction avec les valeurs p2 = o, pj = i.
z^ -h 5*a w*(i — w»)» H- ;5*a'MM I — «»)* -^ ziT u^{\ — u^f — /D = o.
On a à remarquer cette circonstance importante que le coeffi- <'ient a' est nul, et qui tient à ce que dans le développement des racines suivant les puissances de \/q = l|, savoir :
la quantité entre parenthrses ne contient pas la première puissance <le q. De là sans doute résulte qu'on a ainsi le type analytique le plus simple des équations du septième degré résoluble par les fonctions elliptiques.
3" n = ii.
En désignant comme précédemment para, ^, . . ., des constantes
(') Cet ('\p<»sanl est impair lor!»(|ue n = ii dans les cocflicicnts des piiissance4 |)aircs île z: mais, ce cas excepté, il est toujours pair.
TIIKONIB Dt£S ÉQLrATlO^^ M O tl l' L i I El t: 3 ,
îcities* on a celle équation
-^-l*ttMl— «»|M^H-6'«" H-^^«ïû-hS U^^-f- Oil^*)
-- z^u*i I — ij» iM r, -^ r/ «» -j- ïj* M»« -l-i»i*«** -h r*u*
ké.
- Tj W^* (
(V^ tonstdiite^ pourront tUie délenninées en dévt'loijpanl les coeffirienU suivant les [juissances de #y, el substituant pour z le d<^velopprtnrnt cotTespondanl suivant la puissance de ^^q\ Le calcul ^%%ri long uuqui'l on est conduit n'est loillemout îïii|>ralicahle ; je aêi pas cru rr*pondaiil devoir m'y arriHer, car le principal intérêt <|ti on peul attarder au résultat concerne 5uttûnl Tétude df*s équa- Uons du on^iêuii* deg:ré résolubles par le*^ fonctions elliptiques» J^todîqne encore unr fois, en terminant ici nies recherches, ces Wk* questions qui oirrironl une îles pfus iuipoiiantes a[ïplications ilr la tliéarie fondée par Abel el Jacobi, Mais c'est surtout TœuvTe pmprr de rîuiincirlel auteur d^-s Fta^tifUHeftta d'avoir reeonuu ces tippurt^ si renianjuables des iionvcUes Iransceudantes hacc TAI- ^bce ri les propriétés des nouibres. Entre tant de beaux résul- Uls eus k son génie, el qui ont ouvert des voies fécondes à la Sci«*oce <le nos jours, je ne j>uis ui' cru pécher de rappeler dans les NnUcc* de^ premiers volumes du Jnurnal rie Crelle les énoncés iwhtiU aux propriétés des étpuititnïs entre le mulliplicalcur M et \o m^fiulr X. CVst la en ellel que \L Krouecker a trouvé le principe 4c U métliode si remarquable pour la résolution de réquation du aaquiétiK^ degré qui m'» été comnmnlqnée dans une Lettre publiée «1 lonir XL VI, fïajçe ï (5o, des Compies renrhi.^, f^l l'on pourra voir un travail ires importa ni de M* Briosclii sur ce sujet (* ) comrctte tiji'tlutdc résulte des relalions singulières qu'a données i entre les racines de ces équations dans le cas du sixième
(♦) S»i mriaiit» di Kt'onecktr per ta i*izotttzione dette equa^ioni di qidnto trodo, daii« Ir* .Icfr* dr i'ftniiittl Lombard, vqL 1.
tle^ré. Les travaux de ces deux savants géomètres ont ainsi ouvert une voie plus facile pour arriver à la résolution de l'équation générale du cinquième degré que celle que j'avais sui\ie en prenant pour point de départ la réduction de Jerrard à la forme
et cVst en suivant cette nouvelle direction que j'espère plus lard pouvoir y revenir pour contribuer à en faire l'étude approfondie qu'elle demande.
SIR I.AIUISSKMKNr
nK
L'ÉQUÀTIOMtfODULAmK DU iiiîrnJîMi-: \)\m\\\.
Extrait d'une Lettre adrcftsée û M. Ilriourtii {Aiiiitili ilf Utttrmtttft'tt pura ed appUcaia, X» II, iH^i^;, p. 'M;;.
J'ai *^olreprîi le r^kicul /le Va r/'Àt$f tion tU' l /'j^ttAltoft Wht\h
ràiir 'li * . « == S -s» , I**'* huit f;>r,ir>^^ <^fOftf
. ;r-:iii^- I»— I.
je trouve que z dépend de celle équ-itio:i du septième degré, savoir :
57 — 4Î.71 y/IT^aA-A'i. z* — /,♦. 7^ (a — :J MV/» z
-r- 4^7' \/~/W»(i — A* H- /••») = o, a étant
El :;' dépend de l'écpiation loule semblahh^ que Ton en déduit en changeant le signe du radical y — 7. Le fait analytique essentiel dans cette question n'est pas tant, ce me semble, dans l'absence d'un certain nombre de termes de cette équation; ce qui me frappe b; plus, c'est qu'il se présente deux types d'écpiations du septième degré résolubles par les fonctions elliptiques, et je \ais essayer de vous faire voir jusqu'à quel point on doit les considérer comme distincts. Pour cela, je \ais définir avec précision quelles sont les fonctions non symctriques des racines z ou des racines z' qui s'expriment rationnellement |)ar les coefficients, et vous reconnaîtrez que ces fonctions, analogues sans doute, ne contiennent pas les mêmes permutations des racines. V cet ellel, et suivant l'usage, je rc|)résente par r^, l'indice .r étant un nombre entier pris suivant le module j, les diverses racines 5; pour abréger, je pose
encore
0 ( .r ) - - 31 .7-2 — x^ ( mod 7 ).
» Cela posé, les fon(^tions non symétriques des racines qui s'expriment rationnelIcMuent par les coefficients sont celles qui demeurent invariables par les substitutions
a étant un résidu (|uadrati(|ue de 7, b et c deux entiers (juelconques. Les formules (A) représentent ainsi
substitutions dillerenles, formant, suivant r<»x])ression de M. Cauchy, un système de substitutions conjuguées. Or, en passant à l'expression en z\ il faut remplacer la fonction 0(a:) par celle-ci
0'^ j*) == — '2x* — x5 (mod 7),
KO CATION MODTLAlKi: DT IIIITIKMK I>KC;R|<^ ^\
*v*\m conduit à un >v>lème do i(>8 suhslilulious conjugui^os» A
.1 il s'ensuit qu'il existe non seuleinonl un Ivpo, rommr Tavait dit M. kronecker (•), mais deux types de fonrlions fl<* scpl IcUres IHissédant trente valeurs distinctes.
• Rien de plus facile d'ailleurs à dëmonlrcr (pie ( \) et ( V) v»nl des systèmes de substitutions conjuguées; cola résuUe drn «'ongruences suivantes, où a est toujours su|>posé résidu (puidralique de 7, savoir :
0 I nx) = a'O (x), 0 [m -h 6 (.r)] £-. '>./;i*0 ( — -i- .ri-' roimL,
'l'i ax) ^ a*6'(x), b'[m -+- O'(ar)] ~ -jt/nW)'! -1 .'^ jp \ -h roiif^l.
- Dans ces conjn'uences, les fonctions 0(j:), 6'(^) entrenl, romme \ous le voyez, absolument de la même manière. La théorie de Féquation modulaire du douzième de^ré conduit à des résiiltafs jinalo«:ues, que j'espère pouvoir vous communiquer dans une autre ••cession.
Kn moccopant de cette recherche, j'ai dii encore employer frtlr fipression analytique des substitutions qui m'a été fort utile. snii-i dont je ne sais si Ton pourra tirer parti en dehors de ces question-.
« hioi qu'il en soit, voici quelques remarques h ce sujet. Oan-^ i' .4* 'Ir» rintj lettre^, les i 10 substitutions sont ainsi représentée-i,
*« •■«j-iir'/ =•» f-tiinr »*xreptée et les indices étant pris suivant le
f' ur -«M)r Iftln'^i le^; "io Jo substitutions seronl. d une manièrt*
» -^T.- ii\;iri:»hlr -jar i»^ «iiMtitutioiiA du -iysUrmc ( V .
86 OEUVRES DK CIIARLKS IIERMITE.
en attribuant à la fonction 0 ces diverses formes, savoir :
0 ix) =^ — a"- li: •>.:?•-,
0( X } r= x^ -:- ax'-^-r- 3n-x {a quelconque),
6( x) r.ri x^-r- ax^ rh a^* -f- 3a' .r (a non résidu «le 7).
» Quant à ce qui se rapporte à un nombre premier de lettres, j'ai bien quelques types généraux de formules de substitutions, mais d'autres questions nrempêchent de suivre ces recherches
n Paris. 17 décembre cSJS. »
