SUR L'INTERPOLATION

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. XLVIII, 1859 (I), p. 6î».

I^ question donl je vais m'occuper dans cette Note est celle qui a pour objet de représenter approximativement par un polynôme d'un de^ré donné m une fonction F(j7), dont on connaît les valeurs p4»ur JT = j7o, X|, Xo^, ..., J?/ï, /i étant supérieur ou au moins égal à/?î, en :>e donnant la condition que la somme des carrés des différences entre ce polvnome et F(x), poura:==a:o> ^i> •••? ^/i> multipliées chacune par des nombres donnés, soit un minimum. M. ïchebichef a le premier résolu cette question importante dans un excellent Mémoire sur les fractions continues, présenté en i855 à l'Académie de Saint-Pétersbourg ( * ), et c'est de son analyse même que j'ai tiré une nouvelle méthode qui, sous une forme plus générale, donne les résultats de l'auteur, indépendamment des fractions continues^ et en les rattachant immédiatement à la formule d'interpolation de I^^range.

Soit

/(ûP) = (X — Xa) (cr — Xt) . . . (x — Xn).

(jf^iie formule est, comme on sait,

/( X ) Mo ^ /(X) Ui ^ , /(X) Un ^

X^Xo /'(j-if) X — Xi f(Xi) ' '"~^ X — Xn /'{Tn)*

il si Ton V ajoute le produit de /(x) par un polynôme arbitraire,

f) Loe, traduction en français do ce Mémoire par M. Bienaymc vient dVlre pubii#> daoî* le Journal de LioiniUc, a* série, t. III (iSSg), p. 289.

on aura l'expression générale de toute fonction entière de de^ré supérieur à /i, et devenant encore //o, W|, . . ., //,/ pour

Mais en désignant par 0(j:) un polynôme indéterminé et faisant

/'^- ^^ {X-Xi)f\Xi)^(Xi)'

cette expression plus générale de la formule de Lagrange peut encore être présentée ainsi :

Cela posé, voici comment s'en tirent les formules nouvelles qui se rapportent à l'interpolation par la méthode des moindres carrés. Faisons dans n(.r) la substitution linéaire

i I/o " ^/rtï'o -^ ^o^'i H-. . .-+- h t'/i,

,fi-4-...-f- /;,r,„ déterminée de façon que Ton ait

En posant

Ic|»oU-) = ao/o(^)-t-ai/|(.r) -. . . -t- a,i/«( x), <ï>,(j:) = hQ/o(x)'h ^|/|(./-) -r-...-i- bnfnix),

il \iendra

n(.r) = <l>o(>.) i'o-r <ï>i<^/'.)i'i -;-...-:- <l»«(jr)r,„

et l'on aura, comme conséquence immédiate, Tégalilé* suivante :

Or les fonctions ^{x) qui naissent ainsi de la formule de Lagrange possèdent, en vertu de cette égalité, les propriétés fondamentales

(') M. (^ayley a donné IVxprc^'Sion générale de cos substitutions dans un Mémoire Sur les détenninants ffaac/tes, publié dans le Journal de Crelie.

51» L ixTcmff^t ^Ti^'^N. ^^^

♦•l «le ces propriétés résulte, ooinmo Ta ivui<u>|Ui^ M. 1\h<^hîvUoL 1^ solution immédiate de la question que nou^ <non?< en \ue.

Observons, en ellel, que les fonrhoiis <I>(.i') eniiliiMiniMil limli»M rn faeteur ^< x), de sorte qu'en faisant

on a un système de /i -f-i pol^nonies

•Ju n"^* dejrré: or. après avoir elioini m ^^- î (\v <#r*i polyr»/»MM'<i, p*M ^lempl*'

•i l'oa •J'^nuiii'l'^ d« d^l^Tïttin^r l*r* 4'*p4'liuif^t\ \. IJ M. d/' ^/-ll/-

?->rtr •jiK? U 'i«>mm^ «i^^ /^^nr»^-* d^* v;#l^'»ir< d^* U dîff/'f/rfi//'

i i r.oii#*î*^ );*r !»**+ .i»\mhi*** •t*.nn«*'i. ^*'a^ 'irv minimum ^n ^r,*< "■*-• ' mine i -air. tr''TfKv*5»"'.n-« t»* 1 r . -t^ m:#rii**r* /^j»** ..^- r^^vi-

"z.ip-— i#in m 1 ••iit '^nilr* m nianui|tii -;•»■:•«

Or en égalant à zéro les dérivées prises par rapport à A, B, . . ., H, on iroiive qu'en vertu des équations (3) une seule inconnue subsiste dans chacune des équations ainsi formées, ce qui donne iraniédiatcment les valeurs

A =2*0 (a'/)F(^i)e(ir<),

et, en posant

T.(x) = Acpo(a?)-f- Bo,(a:)-r-...H- Hf^„,(x\

on en conclût immédiatement qu'on a

^ tMt,) ^Hxi) = 2 F^Xi) b*{Xi).

Mais, parmi les diverses expressions auxquelles nous parvenons ainsi, et qui dépendant des éléments arbitraires de la substitution (i) sont en général du /i'*^"* degré, il reste à découvrir celles qui, pour une détermination convenable de cette substitution, seront seulement du m'*""® degré, de manière à résoudre la question proposée par Teinploi d'un polynôme du degré le plus petit possible. Soit, à cet effet,

0(ar>

= ii(xu

les é(|uations (li) donneront, par la suppression du facteur 6(x), romniun aux deux membres,

Oç,{x) = a^i^ix) -4- a,i, (a:) -H. . .--i- a«i«(ar),

9, (x)^hçiif,(x)'^bxix(T)-^.,.-^bnin{3P),

'in{^)= h io(^)-+- /iii(:r)-H...-f- Inin(x),

SUR l'interpolation. 91

H Ion \a voir qu'il est possible de réduire Oq(x) à une constante, Zi'.x) au premier degré, et en général o/(.^•) au degré i. EfTective-

ment, on aura, pour qu il en soit ainsi, a poser — équations

entre les coefficients «o» «1 ? • • -^ ^/i> ^o? ^i ? • • •> ^/i> . . m ce qui est préciséiiient le nombre des quantités arbitraires que comporle «l'âprês sa nature la substitution (1). Or de là résultera un système >pécial

tel que la formule

Aoo(^> •+■ ^9i(x ) -T-. . . -h Ho,„(a7),

roiiiposée avec ces fonctions, sera précisément du degré m. Cependant il serait difficile par cette voie de parvenir à exprimer explicitement les nouvelles fonctions par les quantités ^0? ^o •••? ^n et S» .r ^. C'est au moyen de l'équation fondamentale

lI«(:ro) -^ n*(j:, )-+-... -^ HM^'/i) = i^o' -^ ^'î -+-•• --^ ^^^J-

«Il fais.int usage des propriétés des formes quadratiques, qu'on y arri\e et qu'on établit le théorème suivant :

Soie Xm fimrtrianl de la forme

fini sera un polynôme du m^^"^^ degré en x, dont V expression nmilytique est bien connue; si Von désigne par rj,n lecoejficient flt> jr*^ dans ce polynôme, on aura

l'oiir //# = !• 011 il n'y a pas à proprement parler d'invariant^ on

^l /x>ur m = o prendre

9') OeUVRKS DE CHAULES IIERMITB.

\ai signe du radical carré que présentent ces formules reste arbitraire ; car dans la fonction