FORMES CUBIQUES Â DEUX INDÉTERMINÉES

Comptes rendus, t. XLVIII, 1839 (I), p. 35 1.

I-a ihrorie des formes cubiques à deux indéterminées a été dans rfs derniers temps le sujet de plusieurs Mémoires importants dus à M. \mdl et publiés dans les Arclii\'es de Grunert et dans le Jfnirn*if fie Crellc (année iSj^). L'auteur, en ajoutant beaucoup Jk\i\ premières découvertes d'Eisenstein, a donné dans un de ces Mt'in«>ires une table de formes réduites avec leurs covariants qua- •imliqnes pour tous les déterminants négatifs jusqu'à 2000, et il ^♦•r.iit bien à désirer que les formes à déterminants positifs de- \inssenl Tobjet d'un pareil travail. Mais elles semblent présenter «lans leur nature quelque chose de plus complexe, de sorte que la luéihode de réduction dont j'ai donné le principe {Journal de t'rrtii\ t. XLI, p. 21 5) laisse subsister de grandes difficultés pour 4»li|«ii!r lr> conditions caractéristiques des formes réduites. Celle «|Uf'slion nravanl paru mériter de nouveaux eflorts, je me suis at- Uché à i'ïi rechercher la solution complète, et j'ai Thonncur «le présenter à T Vcadémie, dans cette Note, les résultats que j'ai obl'^nii^ ii\ec l'indication de la méthode que j'ai sui\ic.

.h* rdppt'llerai d'abord qu'en posant

/ =r ax^ -H 1 bx^y -4- 3 cxy^ -*- dy^ — a{x — '3Ly)(x — [^J' ) ( .^ — *;.>' ) j^ définis celle forme comme réduite si, toutes les racines étant

9i OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

réelles, le covariant

et dans le cas où a est seule racine réelle, ? et y étant imaginaires conjuguées, ce second covariant

'{;=(^y[9.(a-3)(a-Y)(:r-?^)(x~Y7)-0-Y)H^-ar)']

sont des formes réduites dans le sens propre aux formes quadratiques à déterminant négatif. La grande différence de ces deux cas tient à ce que ç s'exprime rationnellement par les coefficients de y, tandis que d», fonction symétrique en ^ et y seulement, est essentiellement irrationnelle. Cependant ces propositions, faciles à établir, leur sont communes :

i" Deux formes réduites distinctes représentent, en général, deux classes différentes et, si elles sont équivalentes, elles se déduisent Tune de l'autre par les substitutions qui changent en ellesmêmes les formes

9." Soient D = B- — AC le déterminant ou invariant de / et 1 S'il valeur absolue, les coefficients de la forme réduite vérifient les conditions

^'^<{iy^^^ ^''<{iy^^'

Main, à Tégard de ces limitations, une étude plus approfondie de la théorie de la réduction fait voir qu'il y a lieu de distinguer les diMJX (îas, et pour D < o, M. Arndt a déjà reconnu qu'elles devaient <Hre remplacées par celles-ci :

Je vajH, avant d'aborder des questions plus difficiles, m'arrêter un iniituut Hur ce point.