HU

F=^PU<i).

» Maïs il est un autre point de vue sous lequel on peul envisager la détermiaalîon du résultant en recherchant, eomiiie la fait le premier M. Sjlvester, une expression analogue u celle du discriminant d'unr forme cuhique* Cette expression remarquable* dont la découverte est due à M. Aronhold, étant GfS' — T^, l'analogie que nous voulons suivre eonduil naturellement à essayer d'obtenir, par nipport au sjstrnie des trois formes proposées^ deux invariants combinants qui coïncident avec T^ et S* dans le cas particulier où o, o', o'^ sont les dérivées partielles d^une forme cubique. Or M. Sylvesler a déjà donné une fonction qui^ dans ce cas, se réduit non seulement à T^., mais à T lui-même, ainsi Fanalogie est à cet égard aussi complète (pron peut le désirer. Mais il n'en est pas absolument de même en ce qui concerne Tautre terme du résultant qui, au lieu de devenir S^, se présente comme une fonction linéaire de S* et T^.

n Les recherches suivantes conduiront, comme on le veulj à un invariant combinant qui se réduit précisément à S*; mais leur objet principal sera surtout de tlonner un premier exemple de Textension aux formes à trois ïnfié terminées de mélhodes appliquées seulement jusqu'ici aux formes binaires, et que j'ai développées dans un Mémoii*e du Journal de Maihémaùques de Cambridge €i Dublin, i855.

)> Je rappellera! d'abord cette proposition dont je ferai souvent

usage. Soient / ^2 P^^J^*-*" tin co variant et F(6j ti, Ç) un contrevarianl par rapport à une ou plusieurs formes, en opérant avec/* sur F de lu utaniêre suivante :

on obtiendra un contre variant, et si, d une manière touie semblable, on opère avec un contrevariant G^ ^QS^t.PÇt sur un

€0 variant g^ le résultat 7 Q ^ a // a ^y ^^^^ ^^ covariant.

(^) VifX^^ |kOur ces nûtatioim le Iravàit du mcmc auteur publié dAtiit le^ Lraa- §iïCiion$i de 1m Suciélé Kuynic mus le tilrc : A ihird Memoir upon Quantic^,

EXTRAIT d'une LETTRE A M. BORCIIARDT. Io3

» Par la suite, et pour désigner d'une manière spéciale ce mode (l'opérer avec une forme sur une autre, je conviendrai de la notalion suivante :

Supposant par exemple que/ et F soient le covariant et le contrcvariant cubique, par rapport aux trois formes quadratiques o, ©', o". dont les expressions ont été données plus haut, on trouvera

/ . F= (y{a^h)(bc/)-h€,(b/h)(ach)-^G(c/ff)(ahh)-^S(a/sr)(b/ff)

- S(hgh)(c^h) - S(c/h) (n/h) -i(ah/)(acf) + .i(^c^) («6^) ^ :\(ach)(bch) — 7A ab/) (cir^i) -{- •i(abg^)(c/h) -^ 'x( bc^) (a/h)

— 'i{bch){afg) -4- •}.{acf){bgh)-^'3L{ach){bfg) ^- i{abc){fgh) ^H(/ghy — (abc)K

C'est précisément, sauf le signe, la quantité T dont M. Cayley a donné un autre mode de formation, et Ton aperçoit immédiatement le lien de cette expression avec l'invariant de sixième ordre des formes cubiques, car, en supposant

i du , 1 dV ,1 dl]

i dj- ' 3 df • i dz

elle se réduit à l'invariant du sixième ordre de U. » Faisons, en second lieu,

(p ^: F = /{ -h mTQ-h /i^, ©' >< F = /'{-f-m'r, -^/^'C, el posons

ce diHerniinant sera un invariant combinant du douzième ordre par rapport aux formes données, et si, comme tout à l'heure, on fait riiypothèse

I ^/U ,1 dV »__ ' ^^

'^~T5^' '^'^Id^' '^"'i'dJ'

on aura précisément

toi

ceivRES Di; t:MAaï-i:s iiivnîiiTB.

S désignatil rinvariant du quatrième ordre de 11. Le résullanl re- ,

ialîf à o, ©', o*^ sera donc

expression analytique qui réalise, autant que possible, celte analogie avec le dbcriniinanl d^ine for oie cubique que M, S vives ter | a le premier reconnue,

li Mais le fait qu'il iuiporie principalement de remarquer, c'est rexîstence des trois contrcvarianls linéaires simultanée

par rapport au système des formes quadratiques proposées. En eflet, si Ton en déduit, en transposant , la substitution suivante :

a;^ l\-hl'Y H-/'Z. I =/?iX + /?«'¥ -T-m'Z, z = n\ -h n'Y -^ n'?.,

et, qu'après l'avoir eirectuée dans ^^ o\ ©'\ on désigne les transfonnées obtenues par *|*, à\ *l'\ on aura ces deux propositions :

M 1** i, y, *y mnt h s dérivées par rapport à X, Y el Z rf*///îe même forme cubique,

» â" Tous les eoejffieients de eette forme cubique sont des ini?arùints simultanés des (rais formes proposées ©, o', ç*.

» Ce second résultat offre le premier exemple de rextensiou aux fonctions a trois indï'ïe nui nées de la notion des formes types, que j'ai introduite dans l'élude des formes binaires de degrt^ impairs et en partant des covariants linéaires propres à ces formes* En second lieu, considérons, en faisant abstraction pour plus de simplicité du dénominateur^ la substitution in\erse de la précédeule, savoir :

X ^ (m' n'- H' m"} .r ^in' r^r M')y ^ a' m'— m' r):^ =r Lt ^My ^Nz, Y = inm' -' mn'')j: -^ ihi" —Mit ïj-^im t^ lm*)s= J/^-hM'^-^ N's, Z — {mn' — ttm')3r-h(«r- in")y^{lm* — mt) z = l/jF-hU^y-^- N'«.

Ces trois fonctions linéaires seront évidemment des covariants simultanés de ç, s', f^j de plus

0 s^^çX-i'ç'Y-ho'Z

EXTRAIT D UNE LETTRE A M. RORCIIAUDT. lOD

sera un covariant cubique et

jr= ç(L«-+- Mv -f- ^^v)-l-©'(L'w^-MV^-N'iv)^-9''(I/w-HMV^- N'cr)

un covariant double, en w, r, w d'une part et j:, y, z de l'autre. Or on a la relation

dB

rfe

rfa^

5S = L?+L>' + LY, i ^ =Mo-+-lVro'-f-M>%

Vinsi les mêmes quantités /, /;?, /j, . . . se présentent dans la transfiirniation de variables comme dans la combinaison sjzygétique par laquelle on ramène les formes quadratiques proposées aux dérivées partielles d'une même forme cubique. On peut d'ailleurs aisément les calculer par la remarque suivante : Nommons 4>, 4>', ♦' les formes adjointes de ©, ©', ^"j et considérons le déterminant

d^ dç>' d^'

dx dx dx

dv dy dy

dz dz dz

En le mettant successivement sous ces trois formes

"n a uni

y d^ .^p d^ "^ dx dy

dz

..f d%' .^^ , do' ^, d^' ^ dx dy dz

dz

Hïfî

ÙGIJVHKS DE t:]l\ltLL^S IIKIIAIITK:.

n L'analyse précédente s'applique tH jdemiïient à Têtu de de deu former cubiques biaaîres âiinulianees el conduit a T égard de ce fermes à des résultats entîèremenl se tnL labiés a ceux quVm vient i\v voir. G*eâl une extension nouvelle donn^'C ainsi a ranalogie qu'ont révélée les découvertes de M. Hcsse et de M- Aronbold entre les formes cubiques ternaires et les formes biquadra tiques binaires^ et qui doit coin pi er, ce me semble, parmi les résultats les plus intéressants de l'Algèbre moderne. Peut-être pourrais-je y revenir^ plus tard, mais avant de terminer j ^indiquerai encore, puisqu'il a* été question |>lus liautdes formes types, comment on peut étendre au cas rl'iiu nombre quelconque ii'imiélerminées la notion des formes canoniques telle que je Tai donnée ailleurs pour les formes binaires. A cet effet, j'admettrai l'existence de deux coi^arianis fjuadrrHtqtfrs

par rapport a la forme ou au système de formes donné. Cela posé, k substitution linéaire de ^, y, 3, . . * en d'autres indéterminées X, \j Z, ... qui fournira la réduction a la forme canonique, sera dé- Unie par les conditions

» On verra aisément comment se présentent, en partant de lâ^ les propositions fondamentales que j'ai données dans le cas des formes binaires.

» Paris» i4 ft*vrier 18G0. »