SUR L* INVARIANT
DU
DIX-eumÈME ORDRE DES FORMES DU CINQUIÈME DEGRÉ
ET SLR LE ROLE QU'IL JOUE DANS LA RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ.
Journal de C relie, t. 59 (iSOi), p. 3o4.
«... J'ai entrepris, en suivant la méthode de M. Kronecker, de creuser un peu plus à fond la résolution de l'équation du cinquième degré Chemin faisant, j'ai eu à étudier Tinvariant du
dix-huitième ordre des formes du cinquième degré qui joue un rôle fondamental dans la marche que j'ai suivie. Peut-être vous intéressera-l-il de connaître comment il s'exprime au moyen des racines x^^ X|, -Tj, jTj, Xs de la forme représentée par
Voici le résultat que j'ai obtenu. Soit, pour abréger,
(m/l) z=z Xm — ^nj
on aura
= a»V(oi.wo4)(3?.>-+-ro2Xo'i)(i4);;(oi)(o2)(43)-+-(o3)(o4Xi'0;i(»>iXo3)(42)4-(o2)(oO x,{i-2KioX43)-^^>3)(i4M-2o);;(i2)(i3Xo4)H-(ï4X»oX23);;fi2Xi4Xo3)-i-(i3Xio)ri'î)
x,(23Xï<Ko4)-f-(24)«'^o){3i):;(23X-;»4Kio)+('2oXai)(34);;^5i3X-^,o)fi4)-+-(24XaiMo3) x':^4K37,^(Io)-^(3oX3l)(42);!(34X3o)(2I)^-^3IX32X4o)!i(34X3IX•2")-^(3oX3a)^I4) x:(5oK43)<'AUH-(4iX4tiXo3)::(4o)(4iX32)-+.(42X43Xoi);;(îoX42)(3i)-4-(4iX43Xîio)
F>e> quinze facteurs ont été réunis trois à trois de manière à former rinq produits, symétriques chacun par rapport à toutes les racines
I«^ œtVRES DE CHARLES IIERUITE.
moins une. Le produit total est donc bien symétrique par rapport à toutes les racines, et l'on reconnaît d'ailleurs immédiatement qu^il représente un invariant, car il ne change pas quand on remplace les racines par leurs inverses et qu'on les augmente d'une
même quantité
» Désignons par Xq, X,, Xj, X,, X» les cinq produits de trois facteurs, dont se compose l'expression de l'invariant 1, de sorte que
Xo = ! (oi) (o4 ) ( 3-.>.) -+- ro2) ro3 ) ( M ) ;
X l(oi)(o3K43)-4-{o3)(o4)(iJt):;(oiUo3)(49.)-^(o2)(oO(3i);..v
(m peut écrire
l = a'»\oX,\2\,\i,
et \f( sera une fonction rationnelle et entière de la seule racine x/(, (IcUi posé, les quantités suivantes :
;:o = ««Xo(iu>(i3)(i4)(23)(24)(3iK 5, =a«X,(23)(24)(9.o)(34)(3o)(4o), 5, = a«Xj(34;(3o)(3i)(4o)(4i)(oi), Z3 = a«X3(4o)Ui)(4-2)(on(o>.)(i2), i;4 = a«X4(oi)(o2)(o3)(i2)(i3)(->.3),
Hcixmt elles-mêmes, sauf un facteur qui est la racine du discriminant, des fonctions rationnelles semblables de Xq^ Xt, ..., car on peut écrire, par exemple, en représentant le discriminant par A,
(Ol)(02)(o3)(Oi )
riî qui CHt évidemment une fonction rationnelle de Xq. Or, l'équation du cinquicme degré, dont les racines seront ces quantités s©, 5i, ..., aura pour coefficients des invariants, et sera de cetle fonrMr
I. H M étant du douzième et du seizième ordres et I du dix-hui-
