APPLICATIONS A L'ARITHMÉTIQUE

Comptes rendus de l* Académie des Sciences j t. LUI, i86r ( II), p. 21 î ti Journal de Mathématiques pures et appliquées^ 2*sér.,t. VII, 1862, p. 25.

« Depuis noire dernier entretien sur les questions arithmétiques qui sont l'objet de vos rcclierches et où vous m'avez donné un nouvel exemple de la grande fécondité des méthodes dont vous conser>ez le principe, je pense avoir réussi, dans une certaine mesure, à donner satisfaction à un désir que vous m'avez plusieurs fois exprimé relativement aux beaux théorèmes de M. Kronecker sur les nombres de classes de formes quadratiques. Ces théorèmes, qui semblent par leur nature devoir naturellement entrer dans le cercle de vos études sur les fonctions numériques, restaient cependant comme isolés et appartenant à un ordre d'idées très distinct où la théorie de la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques paraissait seule pouvoir donner accès Les démonstrations du P. Joubert découlent en ellctde cette théorie où la notion de classe de formes quadratiques s'oUVe de la manière la plus nécessaire et joue le rôle le pbis important. J'attache» 11 ces démonstrations un grand prix, car elles éclairent et étendent la théorie arithmétique des formes en montrant (|ue les théorèmes donnés il jr a si longtemps par Gauss sont autant de propriétés des fonctions

C£UVaE.S DK CtîkhhEl^ UirtiAIITK,

t>lliptic|ues^ et elleë ajoutent un des plus remarquable^» exempl de cas lien^ cachés qui réunissent l'unalyse Iranscendauie k Farit Eiiétîque> En parvenant par une autre voie à ces théorèmes d M< Kroneckcr, c*est à Tordre d'idées qui vous appartient que pense le§ avoir rattachés de la manière la plui* directe, et, si je me trompe, dans le sens même de vo^ prévisions^ car la no tin arithmétique de classe se trouve remplacée par Tidée heaucou plus simple et plus élémentaire des formes réduites.

M Je suis parti des identités que fournit le développement dei quotients de haletions 8, eu séries simples de sinus ou de ciisinus,| et dont Jacohi a montré le premier la grande importance en découvrant de cette manière l'expression du nombre des décompositions d\in entier en tjualre f arrés par la somme des diviseurs de cet en* lier- Une extension fort simple de ce procédé consiste à considérer, au lieu seulement de sinam^, cos amx;, Aam^:, les produits de^ ftmctions doublement périodiques par des puissances de quantités B^ c*est-H-dIrc des expressions ayant la période 4 ^^î *^i ^^ multipliant par un facteur exponentiel, lorsqu'on ajoute 2ilsJ à l variable.

î> En faisant :; ^; -^^- et posant avec Jacolu

B (i) ^ ] — iq cos"2^ H- i^^ co&4^ — ■i'7'"' l'osG^r -*-. H ( -B ) = ay/^ sin j? — ay ^* sin 3 a? h- -iij ^** sin 'iar — , - Bt { s } =^ l -h nq COS IX H- 3^* C0S4 Jt -h ly* costi^ -h *

lltiz)

1\ q Ctisa? '

*i\ y* cosi j" -h ay-g" C06 5a?H-,

de sorte qu'on ait

sin ara^ = — ^ -- — j trosani^

A' Hi(^f

les plus simples de ces fonctions seront