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iHm iifii) B}{z)

%{z) ftu> e(i> Si on les développe eu séries de sinus et de cosinus, on trouvera.

LETTKE: ADftESSÊE A M. LIOUVILLE.

pour les premières.

-:- sin7x\ g^* (i -+- 27-» — yg-^ h- 29-»)

-«- 5in(2n-i- I >x\ 7^*'«-^*-^(i-r-27 *-f-2 7 *-+-.. .-h t^ «').

— cos3x\ ^•(i — 27-' )

-H cos5x\ 7** (I — 29-* -h 2^"*)

— cosyx\ g^*{i — 29-* -h 27-* — 29- •)

V 57 — ëTT) — ■ =sin2X7('n9-v

-+- sin4x7*(2\ ^-'-î- a\ 7" ')

H- sin6x7'(2\'7-* -}- '«V 7 '-^ 2\ <7~**)

H- siii 8x<7** (2 \ 7-* -h 7. \ </- » -f- 2 \ f/-** H- 2 \ </-*» )

H- sin2/iX7«'(2\ <y-* -i- 2 \ 7"'"^- • '"^ '^-\ Y~^'"~*")-

<^>uaiit aux secondes, introduisons la fonction suivante :

Z. J-» = co>2j?7(2v <7-')

— coî> 4^7* (î Vy~* — '^ V 7 ' ^

— cos 8 X7>« (2 \ ^ — 2 \ y^ -f- 2 \^Y^" — i \ V"**)

— « — I )« cos2/iX7«'[2 V y^ — '^ \ 7^ -Î-. . .— 2(— i)« yV/-t«« 1'],

112 OEUVRES DE CHARLES ilERMITB.

et ces constantes, savoir :

. — i — t— i, -(îm-4-i;(î/ii-»-»)

. — . — . ^ — J f.î/ii-Hi;(

ou encore

-dm-»- 11'

elles donnent

— sin ami H (z)= ^ ^, / = Aec;;) — 8 (o)Z,

— cosiim5lI,(5)= 21-^^^ L y! = Be(;;)-e,(o)Z,

ii Aam.e,(.)=i^ 1^ =Ce(.,-H.(o)Z.

» Ce second groupe de fonctions se distingue essentiellement du premier par la présence des fonctions complètes A, B, C, dont voici le caractère arithmétique. Désignant par n les nombres entiers ^3(mod4)> on aura d'abord

le coefficient a„ étant la somme des valeurs de l'expression

en prenant pour d tous les diviseurs de n inférieurs à sa racine

LETTRE ADRESSkK A M. LIOLYILLK. n\

ijirre ; nous le représenterons ainsi

Faisons ensuilc. en supposant n pair,

• Si Ton désigne par d les diviseurs impairs de n inférieurs à sa rjrine carrée et par rf' les diviseurs impairs plus grands que sa racine rarrée, on aura

' \ oici donc deux nouveaux exemples de ces parties de fonctions que Kronecker a introduites en arithmétique et qui s'offrent -ous un point de vue si différent dans les reclierches délicates cl pmfondes de ce savant géomètre sur les modules qui se rapportent é la multiplication complexe. Par cette nouvelle origine, elles se trouvent rattachées de la manière la plus immédiate à l'ensemble *le\os travaux sur les fonctions numériques, et peut-être même ne M*rd-t-il pas impossible de définir par des équations différentielles le* fonctions qui leur donnent naissance en partant de ces cxprcs-

■' Je remar(|ue encore, comme un nou\eau trait de la dislinc-linii à établir entre les fonctions (i) et ( >.), que la quantité Z(./),

<|iii donne V et B en y faisant ^' = o et x z= -^, conduit, pour j--- -, à cette relation

Il4 OEUVRES l)K niARI.KS IIEHUITE.

dont le développement a la forme

Le nombre n est ^ — i (mod 8) ; A',i est la somme des quantités

pour tous les diviseurs de n inférieurs à sa racine carrée, c'est-àdire encore une partie de fonction. Au contraire, dans ces cas et d'autres analogues, les développements des expressions (i) ne conduisent jamais qu'à des fonctions numériques complètes. » Après ces deux groupes de fonctions, la suivante :

pourra servir d'exemple du cas le plus simple qui s'offre ensuite dans la série des expressions obtenues en multipliant par la première puissance d'une des quantités 0, une fonction doublement périodique. Elle donne, en désignant par <v\5> une constante, ce développement

K, /IFk UHz)e^(z)

— cos 4 xq^ ( V 9=^ -4- 3 \/^)

— cos()X<79 (\ 7^ -f- 3 \/q^ -+- 5 y P")