L -f-(2/i— i)vV««-i)»j
» On doit donc encore regarder «Jl, comme une fonction complète, dont la valeur, sous une forme analytique toute semblable à celle de A, B, C, sera
» Mais, tandis que A, B, G se rapportent sous le point de vue
LETTRE ADRESSEE A U. LIOL'VILLE. Il>
dritliiiictiqiie aux fonctions des diviseurs des nombres, ti., comnie \iKi> allez \oii\ conduit aux fonctions qui expriment le nombre »i«'> classes quadratiques pour toutes les formes de déterminant — /i, /* étant ^ 3 ( mod 4).
» Pour le démontrer, je regarde l expression — ; ■ — comme
[f. produil de ces deux facteurs
lljOOiiCJ 11(5) /7 .
*ir non*» a\ons trou\é
/Iv' II( 5)H,< 5 ) i -
I • — — Mil .ri f/
-r-sirrj.r\ <7* (i -i- '2^"' )
= ^ siii (a/t -i- I ) JT \ q^-'t-\^ X 7 7~"S
le ni»mlire a de\ant prendre les valeurs
a = o, -b I, zh -ji, . . ., :'- //. 4't l'on a
dr '.orte qu'en multipliant membre à membre les deux séries, on de\ra précisément relondjer sur le déxeloppement ci-dessus de
>.T.y T. iiHz)
On trouve ainsi, en se bornant au terme constant,
riprftssion qu'il est ais<- de déxcloppcr suivant les puissances de y
Il(> «IVRES DE CHARLES HEBSITI..
en remplaraiit la fraction
|»ar
/> closi^uant tous les nombres entiers de réro à riofini. En p«>9anl
et désignant \vxv F{N) le nombre de fois que celle ëqu^lion aura lieu pour une \aleur de j\, en supposant n et b entiers el p>>itifs.
<t eouipris dans la série
o, iti, ±21, ..., zr w.
on aura éxidenuneni
- iVei pONe, j\d)serve que la valeur de N repr^?^nter* tou> les uoiiiluvs entiers : l\ mod 4, et qu'on peut récrire Je ct's trois niaiiièrex, en faisant eorrespondre à chacune d'elle> une fomie quadratique de détt^nninanl — N, savoir :
\ \ rui i)(';i/h-46-h3) — 4«--
^ N M •/! I- 1)( |/i -t-4^ -^ 4 — 4« »— î" — i — î«« -- \ {Ui'ii, Min -4-1 — 'ia, in — ^fr— 4— îa..
\ \'yiH i)(4n-H4^ -^4 — 4« — . »« — I— »«i'*.
• Vw eundo\ant la première pour les \jileur^ de ci inférieures,
ib^haetion l'aile du signe à la limite^ b l\Mrme quadratique
K oite^pondaule représentera toutes les f*>nne* réduites de déteruiiu«iul N» où le eoeflicient moven est pair, et qui sont, par louM'quenl, de Tordre proprement pri mi tit\ chacune d Vil es étant puM" une ^eule lois. Les classes ambiguës sen>nt renfermées dans \ e piv lier groupe el correspondront à <i^oi Gaus^^. Rech, arîth., p iSS\. IViur les valeurs de a qui \onl de la limite inférieure
LKTTRE ADRESSÉE A M. LIOUVILLK. II7
— : — à la limite supérieure /i, nous emploierons la seconde expression en leur attribuant le signe -h et la troisième en leur donnant le signe — . On aura ainsi, deux fois répétée, une série de formes (/>, </, /•) de déterminant — N où se trouvent satisfaites les conditions
7>o, 'JL(/<p, >.q<r.
» En permutant /> et r lorqu'on aura p >• r, cette série donnera iouie> les formes réduites de déterminant — N où le coefficient moyen est impair et positif, l'un des coefficients extrêmes étant ausiii un nombre impair. On doublera leur nombre si l'on y joint les formes opposées (/;, — y, /) qui en sont distinctes et appartiennent H des classes différentes, puisqu'il n'existe point de formes ambiguës ayant un coefficient moyen impair. Par conséquent, à la totalité des deux séries de valeurs positives et négatives de a correspond exactement la totalité des formes réduites, proprement primitives du déterminant — N. Ainsi la fonction /'(N) qui s'est ofl'erte d'abord comme la somme des nombres de solutions des équations 1, Il et III, reçoit cette nouvelle et importante signifi- «iilion aritlimétique de représenter le nombre des classes proprement primitives de déterminant — N. L'équation
♦-ïixisagée sous ce nouveau point de vue, montre l'importance de
I^ ffiuction complète de l'expression — J et va donner très
diséïiient Tun des théorèmes de M. Kronecker. • .b* fais pour cela x = o dans l'équation
'THi U^(z)St{z) , ^ , 4 — :
h />kK
— cos () J'y» i\ q ï -f- "5 \ y '^ -f- î \^q~''*)
L' premier membre s'annulanl, on voit immédiatement que le second membre, ordonné suivant les puissances de y, donne une
Il8 (KUVRKS DK CIIARLKS IIKRMITK.
srri<* «Innl le l(»i*me j'rnéral esl
l/ex|)o>ant N esl ^^ l\ (mod4), \] d' représente la sf)mine des diviseurs de iN supérieurs à sa raeine carrée, et > d la soninie des diviseurs qui lui sr>nl inférieurs.
)» Le roeffieient de 7* est donc précisément la fonction désignée par ^'(jN) et définie dans le Mémoire de M. Rronccker au moyen de la relation
Kn employant celle notation, on pourra donc écrire
et en égalant dans les deux membres les cocOîcients d'une même puissance de q, on trouvera
F{ N ) — 7. F( \ — •>.' ) -f- •>. f '( N — 42 ) -h . . . ^ '2 Fi N - - i A* ) = » n'( N ).
Or cette relation est donnée en ajoutant membre à mend)re \c> écpiations (V) el( VI ) du Mémoire de M. Kronecker, et obser\ant (pie la fonction s (m) (pii y ligure s'évanouit pour m = N== 3 (inod 4). » D'autres tbéorèmes résultent d'une détermination diflTérente de -V.. Kn pnMuier lieu, je fais le produit des deux séries
Si(z) = I -h f.f/ «•(►sa»/' -i- ig^ cos.i.r -h -ig^ r.onGx -h. . .,
\\-{Z) x? ''7" 7 , '^7' = > = — c< »s •>. .r — - — — co'i i jr ' — •
qui donne pour le terme constant dans le second membre Tex-
pression
^ ng" ^ nf/"^ ' '*-
JmÀ l — q-" \^ I — 7*" *
» Ce même terme s'obtenant aussi en intégrant entre les limites
LETTRB ADRK8SKK A M. LIOUVILLE. II9
1» Tf> el K le premier membre, on aura
et, par conséquent,
1 /-xkK ,. ^ n(j" ^ n g *''-*-"
Nul
^i(n) représentera la somme de tous les diviseurs de n dont les conjugués sont impairs etWi(n) la somme de tous les diviseurs nuiindres que y^/i et qui ne sont pas de même parité que leurs conjugués. Ainsi pour n impair, ^^{n) coïncidera avec la somme de tous les diviseurs que M. Kronecker nomme ^(ai), et ^"1(71) >era nul. Cela étant, Téquation
donnera ce nouveau théorème où n est quelconque :
/'(4/i-i)-HF(4n-3«)-h...-f-F[4/i — (2a-h iy]=^i(n)-^\(n).
t> Je considère en second lieu le produit des développements d«r H(5) et de la dérivée de cosam^, à savoir :
11(5) = 2^/7 sina? — 2y 7* sinJor -H 2y 7** sin 5.r — . . . ,
vXÎTM i\(z)ei(z) v^ ^i/q^ . ., îi/^ . ,
;: — — 7- — î-^ — - = ^ sina?H ï^-^ sin ij- H î^^-: siii ):r-i-
T.- tt'(-) »-*-7 i-H<7' ! — (/•»
Kn opérant de même on trouvera
œi^vnits Di: t:iriRLK.^ ir ermite.
un
pose
i9N-4-jHi^i+ai
N représentera tous les noitibre^^ entierâ ^ 3 (mod |) et ^''a^N) Ih ^onime des diviseurs de N mférîenrs k la r»cine carrée- L*équation
donnera par suite ce trûlsième ibéoivme
i'\\)—^j^Fi\ — A')
-ha(-i>*/'^(\-.U'*)=^(-i) * ^t{N) = (~t) *
» FjC temps me manque en ce moment pour donner le sysleine
rtimplel de loole-iî les rr]:ilîoii!^ dp €elte nalure, et inVccuper de?; Hutres théorèmes de M. KroueL-kei- vl de reiix ou le P. Joubert(*) a introduit des fonctiims ïiujih riques distint tes des précédentes. J^ll]rais surtout ît retrouver cette relation
ijin sans doute doit résulter de combinai ^^o us où entre la fo notion -~r^ - M, Krontïtker, en la donnant tomme T ex pression analytique d*un de ses théorèmes, avait Itien iHidemment pressenïi la srgniiit^iition qu'elle recevrait dans la théorie des fonctions elliptiques, et, a t ei égard, je ne puis trop admirer la pénétra tin n dont il a donné la preuve*
)) Vous m'avez, aussi plusieurs roi s purlo de ht décomposition ties nombres en trois carrés; dans le cas où il s'agit des nombre» ^ 3 (mod 8)j et où les carrés sont tous impairs^ voici comment on trouve le nombre des décomptïsitions,
» Soit Xi ce que devient el» par le t hangcment de q en — ^/; eu posant pour un instant ê ^ \ — k on aura
^t " t JL
(^) Voir C* /?.* i. L, ïSiki (I), p. 77} cl auiv.
LETTRE ADRESSKK A M. LIOUVILLÈ. |-2I
Or on obtient aisément la valeur du premier membre. Introdui-
•> K j* sons dans l'intégrale x au lieu de 5 =: > ce qui donnera
Gomme en changeant gr en — q^ les quanti trs
deviennent
—3:—» ^l/-:^» *^i<-.), sH(-j, B(5), un aura
Mais, par la substitution de - — x à x^ l'intégrale se change en celle-ci :
*l'où résulte
as.
et, par suite, à cause de £* = — i ,
Or on a
il s'ensuit que
«t l'on en conclut la relation
^^F{%n^ 3) çr^T- = ( ^* - ^. ^v- ^ V 7« -4-. . .)',
« • ^ Un -4- 3
r>'>. OKUVIIKS DE CIIARLKS IIKIIMITK.
qui esl l'expression de (^e théorème aiitliinétiqiie que le nombre des représentations d'un entier N^3 (mod8), par la forme X' -\-y^ H- c-, en supposant x^ y\ z de même si<i:ne, esl précisément é^al au nombre des classes quadratiques du déterminant — M pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes est impair.
» Quant au cube de 4/ -^ ou B, (o), il est donné sous une forme
singulière, et dont je n'ai |)u suffisamment aj)profondir la signification en faisant J7 =: o dans ré(|uation
On obtient ainsi immédiatement
7 {2w-i-i)<Jm-t-3.
Je laisse donc de côté ce résultat et d'autres du même genre pour vous indiquer, en terminant, de quelle manière je conçois la liaison de la théorie des fonctions elliptiques, dans ses applications à rarithméti([ue, avec vos recherchées générales sur les fonctions numéricjues.
» Je considère pour cola les dé\eloppements suivant les puissances de y, de sinam:;, cos am :;, Aamc, et je remarque qu'en posant
— sin amj=^ H,,./- ,
— Aainw = n-^ T;i7«, on a
les sommes s'étendant à tous les fliviseurs d du nombre impair n et à l'égard de la fonction T, si Ton pose
LETTRR ADRKSSKK A M. I.IOIVILLK. rj.y
N étant impair, et qu'on désigne par cl les (ii\iseiirs de A, on aura S4*mblablement
T„ = V(— I) * co'i2''+»rfx.
Ihi retrouve donc ainsi les fonctions numéri(pies cpii s«' sont si souvent présentées dans vos recherches.
» Soit encore
ri désignons par d et rf'deux diviseurs conjugués, dont le produit >oit /t, on aura
* cos j-,
les sommes s'étendant à tous les diviseurs du nombre n qui est =: I imod-i) et? en dernier lieu.
\V„ =2 sin — -
/r étant ^ — i (mod 4). On reconnaît ainsi, au point de vue arilliiiiétique, l'analogie des nouvelles fonctions avec les anciennes, ••l ru même temps leur différence qui consiste en ce qu'un divi-
^UT d est remplacé par • On ne voit point encore d'ailleurs
^'offrir de parties de fonctions, mais elles se présentent en faisant
lJan> ce ras n est ^ — i (mod ^), et, en supposant d<^d\ on lroij\e
"tJ. d + ef * cos X,
l'JLi IIKUVRKS I)K <:11ARLKS IIBRMITB.
la somme m» <'omprenant que les diviseurs rf, qui sont inférieurs à ^n.
» J'espère, mon rher confrère, que vous n'oublierez pas in'avoir aussi promis une Lettre arithmétique qui soulève un peu le voile dont vous vous «Mes jusqu'à présent recouvert. Si vous le jugez à propos, j'aimerais bien que celle-ci filt publiée dans votre Journal, où je la ferai suivre de plusieurs articles sur divers sujets qui s'y rallaclient et qu'en ce moment je suis obligé d'îijourner. »
